مسئله وجود مجموع و فیلسوفان مسلمان (با تکیه بر آرای ابن‌سینا و ملاصدرا)

نویسندگان

1 دانشجوی دکتری فلسفه دانشگاه تربیت مدرس

2 دانشیار فلسفه دانشگاه تربیت مدرس

چکیده

مفهوم مجموع، به عنوان گروهی از اشیایی که هیچ‌گونه ترکیب حقیقی میان آنها محقق نیست و از اجتماع آنان نیز هیئت و وضعی جدید حاصل نمی‌شود، یکی از عناصر بنیادین بخشی از مسائل فلسفی را تشکیل می‌دهد. به همین سبب نحوه وجود مجموع می‌تواند تأثیر مستقیمی بر مباحث مختلف فلسفی بگذارد. در این میان، گروهی از فیلسوفان مسلمان برای مجموع، وجودی حقیقی در نظر می‌گیرند و در مقابل عده‌ای نیز وجود مجموع را امری اعتباری محسوب می‌کنند. اکثر حکمای مسلمان عدد را موجودی حقیقی می‌پندارند که بر اشیای خارجی عارض می‌گردد. پذیرش این نظریه از مجرای باور به وجود حقیقی مجموع می‌گذرد. از طرفی دیگر بخشی از برهان‌های ابطال تسلسل همچون برهان مبتنی بر مجموع و برهان وسط و طرف نیز وجود حقیقی مجموع را به عنوان یکی از مقدمات مستور خود پذیرفته‌اند. در این مقاله پس از ایضاح صورت مسئله دیدگاه مخالفان وجود حقیقی مجموع با نظر به استدلال‌های آنان بررسی می‌گردد. در مرحله بعد با معرفی پارادوکس راسل ارتباط آن را با بحث نحوه وجود مجموع روشن ساخته، نشان می‌دهیم که پذیرش وجود حقیقی برای مجموع نتایج مسئله‌برانگیزی دارد که سبب می‌شود به‌کارگیری اصطلاحاتی همچون «مجموع موجودات عالم» نادرست گردد.

کلیدواژه‌ها


عنوان مقاله [English]

The Existence of Collection in Muslim Philosophers’ Viewpoint (With Emphasis on Mulla Sadra and Ibn Sina)

نویسندگان [English]

  • v Khademzadeh 1
  • m Saeedi mehr 2
1 PhD Candidate of Philosophy, Tarbiat Modares University
2 Associate Professor of Philosophy, Tarbiat Modares University
چکیده [English]

Concept of “collection” as a group of things that lack real composition and do not end in a new situation and configuration is one of the fundamental elements of some philosophical problems. So, the issue concerning the mode of existence of collection can make direct effect on different philosophical subjects. Some Muslim philosophers believe that the collection possesses a real existence and others consider it as an ideational entity. Most Muslim philosophers assume that numbers are real accidents of concrete things and this view seems to be dependent on their belief in the real existence of the collection. On the other hand, some parts of arguments for the impossibility of infinite regress such as the argument from collection and the argument from middle and side assume the real existence of the collection as one of their hidden premises. In this paper, after the exposition of the problem, views of the opponents of real existence of the collection and their arguments are examined. In the next step, the relation of Russell’s paradox and the mode of the existence of collection is explained. We conclude that acceptance of real existence for the collection has controversial results that make some expressions like “the collection of all existents” lack any reference.

کلیدواژه‌ها [English]

  • collection
  • number
  • infinite regress
  • Mulla Sadra
  • Ibn Sina
  • Russell’s paradox

 

بر پایة اطلاعات در دسترس، فیلسوفان مسلمان هیچ گاه به صورت یک بحث مستقل به نحوة وجود مجموع نپرداخته­اند بلکه در ضمن بحث از پاره­ای از مسائل فلسفی دیگر بر حسب اقتضای آن مسائل در باب این بحث اتخاذ موضع کرده­اند. برخی از برهان­های ابطال تسلسل و نحوة وجود عدد از جمله مسائلی هستند که ناگزیر با نحوة وجود مجموع گره ­خورده­اند و از این رو به بحث ضمنی از نحوة وجود مجموع دامن زده­اند.

در این مقاله سعی می­شود بحث از نحوة وجود مجموع  به صورت یک مسئلة مستقل مورد توجه قرار گیرد. برای این منظور، برخی از مباحث کهن در فلسفه همچون بحث از ماهیت عدد و نیز پاره­ای از مسائل جدید مانند نظریة مجموعه­ها و پارادوکس راسل را از نگاهی دقیق­تر مورد تحلیل قرار می­دهیم و تأثیر آنها را در مسئلة نحوة وجود مجموع ارزیابی می­کنیم.

در ابتدای امر لازم است که معنای «مجموع» را روشن سازیم. خواجه نصیر حصول جمله (یا همان مجموع) از اجزاء را بر سه نوع می­داند:

1-                 در هنگام اجتماع اجزاء، چیزی غیر از اجتماع اجزاء پدید نمی‌آید مانند مجموع ده انسان؛

2-                 همراه اجتماع اجزاء، هیئت و وضعی پدید می‌آید که متعلق به اجتماع است. همانند هیئت حاصل در یک صندلی؛

3-          بعد از اجتماع اجزاء، شیئی دیگر پدید می‌آید که ناشی از اجتماع اجزاست و این شیء جدید منشاء فعل و اثر می‌گردد؛ همانند جسم که از ماده و صورت تشکیل یافته است. (ابن­سینا، 1383ش، ج3: 24)

در این مقاله دو واژة «مجموع» و «جمله» به یک معنا به کار می­روند و مقصود از آنها همان نوع اول از سه نوعی است که خواجه برای جمله برشمرده است. بنابراین مقصود از «مجموع» در این بحث، اجتماع صرف آحاد و اجزاست بدون آنکه مشروط به پیدایش هیئت جدید یا شیء جدید باشد.

نظریة عرضیت عدد

در باب نحوة وجود عدد دو اعتقاد در میان فیلسوفان مسلمان و متکلمان رایج است:

1- اعداد عرض خارجی برای معدودات خود هستند پس در عالم خارج موجودند.

2- اعداد اموری اعتباری­اند و به همین سبب تنها وجودی وهمی دارند.

نظریة اول در میان فیلسوفان مسلمان دیدگاه غالب است و نظریة دوم منسوب به متکلمان است (جرجانی، 1325ق، ج4: 170) هرچند گاهی فیلسوفان به آن گرایش یافته‌اند. ابن­سینا می­کوشد جهت اثبات نظریة عرضیت عدد، برهانی ارائه دهد. ملاصدرا نیز در تعلیقاتش بر شفا به دفاع از این برهان می­پردازد. برهان ابن­سینا و دفاع ملاصدرا به طور ضمنی حاوی این پیام است که مجموع دارای وجودی حقیقی است:

ابن­سینا بیان می‌دارد که عدد دارای وجودی در اشیا و وجودی در ذهن است. اما وجود عدد در خارج مجرد از معدودات نیست. همان گونه که واحد در اعیان امری قائم به نفس نیست، آنچه وجودش بر واحد مترتب است، یعنی عدد، نیز در اعیان امری قائم به نفس نیست. ابن­سینا استدلال می‌کند که از «آنجا که در خارج وحدت‌هایی فوق وحدت حاصل­اند، بنابراین وجود اعداد در خارج بدیهی است»1 ( ابن‌سینا، 1385ش: 126).

می­توان صورتی ابتدایی از استدلال ابن­سینا به صورت زیر ارائه کرد:

مقدمة اول: کثرت (وحدت­هایی فوق وحدت) در خارج وجود دارد.

مقدمة دوم: کثرت مستلزم عدد است.

نتیجه: عدد در خارج وجود دارد.

 ملاصدرا در مقام توضیح مقدمة اول می‌آورد که به عنوان مثال وحدت عددی مختص به زید در خارج غیر از وحدت عددی مختص به عمر و وحدت عددی مختص به بکر است. در حالی که همة آنان در انسانیت مشترک­اند؛ پس وحدت‌هایی فوق وحدت در خارج محقق است. اما ملاصدرا برای اثبات مقدمة­ دوم بیان می­دارد که «معنای عدد چیزی جز مرکب از آحاد نیست، بنابراین هرگاه وحدت­های فوق وحدت تحقق یابد، وجود عدد اثبات می­گردد»2 سپس در مقام تأکید بر نتیجه می­آورد که «مرکب از امور وجودی غیرممکن است که امری عدمی باشد»3 (ملاصدرا، 1382ش، ج1: 502). منظور از «امور وجودی» در این عبارت همان وحدت­های عددی است و منظور از «مرکب از امور وجودی» همان عدد است. همان گونه که ملاحظه می­گردد، ملاصدرا در مقام تفسیر سخن شیخ، عدد را مرکب از آحاد می­داند. تفسیر ملاصدرا از این استدلال  در بخش دیگری از الهیات شفا توسط خود شیخ مورد تأیید قرار می­گیرد بدین ترتیب که شیخ صراحتاً بیان می­دارد که «کثرت همان عدد است».4 (ابن­سینا، 1385ش: 113)

 به نظر می­رسد که می­توان از مقدمة دوم استدلال ابن­سینا جهت اثبات وجود خارجی عدد، دو تفسیرعرضه کرد: تفسیر اول همان تفسیر ملاصدرا است که ابن­سینا نیز در بخش دیگری از الهیات شفا بر آن صحه گذارده است. براساس این تفسیر، عدد چیزی جز کثرت نیست و همان گونه که کثرت از اجتماع آحاد تشکیل شده است، عدد نیز مرکب از آحاد است.5 بنابراین همان گونه که کثرت در خارج محقق است، عدد نیز در خارج حاصل است. اما بر پایة تفسیر دوم، عدد همراه کثرت در خارج است اما عین آن نیست. به عبارت دیگر، عدد عرض لازم برای کثرت است. اگر تفسیر دوم از سخن شیخ را بپذیریم آنگاه برهان مذکور دچار مصادره به مطلوب خواهد شد، زیرا در این صورت مقدمة دوم همان نتیجه­ای است که استدلال مورد بحث در پی اثبات آن است. به عبارت دیگر تنها زمانی عدد می­تواند عرض لازم برای کثرت باشد که پیشاپیش وجود خارجی عدد را پذیرفته باشیم. از طرف دیگر با این تفسیر، مقدمة دوم گزاره­ای بدیهی نیست بلکه برای پذیرش آن، استدلال دیگری نیاز است. بنابراین اگر بخواهیم تفسیری از استدلال شیخ ارائه دهیم که حجیت برهان تأمین شود، باید تفسیر اول از سخن شیخ را که مورد تأیید ملاصدرا نیز هست، بپذیریم.

ذکر این نکته لازم است که کثرتی که ابن­سینا، وجودش را در خارج بدیهی می­داند و ملاصدرا با توسل به مغایرت وحدت میان عمر و زید و بکر به آن اشاره می­کند، کثرتی بدون هیچ­ گونه قید و شرط همانند ترکیب حقیقی و یا ایجاد هیئت و وضع جدید است، بنابراین کثرت مورد اشاره در بحث عدد به نوع اول از اجتماع برمی­گردد که محل بحث ماست. 

ابن­سینا، پس از اقامة استدلال، در ادامة سخنش می‌آورد که هر عددی نوعی بنفسه و متمایز است و هر یک از اعداد از این حیث که یک نوع متمایز است، یک امر واحد فی­نفسه است و دارای خواص ویژه خود است. چیزی که دارای حقیقت نیست نمی‌تواند دارای خواصی همچون اول بودن، زیادت و نقصان، مربع و مکعب بودن باشد. بنابراین هر یک از اعداد، حقیقتی مختص به خود دارد و آن حقیقت، وحدتی است که سبب می‌گردد آن عدد، نوع واحدی گردد و این وحدت در واقع ماهیت آن عدد را تشکیل می‌دهد. ابن سینا در ادامه متذکر می‌گردد که عدد کثرتی نیست که در وحدت جمع نگردد تا اینکه بتوان گفت عدد صرف مجموع آحاد است، بلکه عدد از این حیث که مجموع است، امری واحد است که دارای خواص مختص به خود است. بنابراین یک شیء می‌تواند از این حیث که دارای صورتی است، امر واحدی باشد مانند عشریت یا ثلاثیت و همچنین دارای کثرتی باشد. پس از جهت وحدت، دارای خواص ویژه‌ای است اما در باب کثرتش دارای خواصی جز خواصی که برای کثرت مقابل وحدت است، نیست. ( ابن سینا، 1385ش: 127)

از آنچه گفته شد آشکار می­شود که نظریة ابن‌سینا در باب عدد بر  پایة این باور استوار گشته است که برای مجموع وجودی مغایر با آحاد حاصل است زیرا وی ابتدا با فرض وجود وحدت‌های فوق وحدت، وجود عدد را در عالم واقع نشان می­دهد. بر ‌پایة توضیحات ملاصدرا، این استدلال براساس مغایرت افرادی که تحت یک نوع واحد قرار دارند، تقریر گشته است. مغایرت میان آحاد نشان‌دهندة آن است که میان این وحدت‌ها ترکیب حقیقی صورت نگرفته است. بنابراین نمی‌توان مجموع را دارای وحدتی حقیقی دانست. در حالی که ابن‌سینا برای این مجموع وحدتی حقیقی در نظر می‌گیرد و این وحدت را تشکیل‌دهندة ماهیت عدد می‌داند که خواص مختص به خود را دارد.

به عبارت دیگر ابن‌سینا در ابتدا برای اثبات وجود خارجی عدد، عدد را چیزی جز کثرت نمی‌داند و وجود کثرت را در خارج بدیهی محسوب می‌کند. ولی در سطور بعدی برای اثبات اینکه هر عددی نوعی متمایز است، بیان می‌دارد که «عدد کثرت صرف نیست بلکه از این حیث که یک مجموع است، امری واحد است». به نظر می­رسد که طبق سخن شیخ، مجموعی که متصف به عدد می­شود هم باید دارای کثرت حقیقی باشد و هم دارای وحدت حقیقی. زیرا این قسم از مجموع از این حیث که چیزی جز آحادش نیست، کثرت حقیقی است و از این حیث که زمینه­ساز تحقق یک موجود حقیقی یعنی عدد می­گردد، باید دارای وحدت حقیقی باشد. مجموع در واقع معروض عدد است. یک عرض حقیقی نیازمند یک معروض حقیقی است از همین رو وجود و وحدت حقیقی عدد بدون وجود و وحدت حقیقی معروض ـ یعنی مجموع ـ قابل تصور نیست. بنابراین تنها راه جمع این دو نظر، این است که برای مجموع وجودی مغایر با وجود آحاد در نظر گرفته شود تا به واسطة این وجود مغایر، اتصافش به وحدت حقیقی موجه گردد. پذیرش این حکم که شیئی هم دارای کثرت حقیقی و هم دارای وحدت حقیقی باشد، در دستگاه فلسفی سینوی با دشواری همراه است.

ملاصدرا به این اشکال نظریة ابن­سینا تفطن دارد، از همین رو می‌کوشد این اشکال وارد بر نظریة عرضیت عدد را براساس اصول حکمت متعالیه پاسخ گوید. او بیان می‌دارد که معروض عدد  عبارت است از مجموع از آن حیث که مجموع است، و  عدد از جمله اموری است که وجودی ضعیف و ناقص دارد. پس وحدت هر عدد عین کثرتش است (ملاصدرا، 1382ش، ج1: 504). بدین صورت، ملاصدرا می­کوشد هم وحدت و هم کثرت موجود در نظریة عرضیت عدد را توجیه کرده و نشان دهد که این وحدت و کثرت قابل جمع با یکدیگر هستند. جمع میان وحدت حقیقی و کثرت حقیقی در فلسفة ملاصدرا براساس نظام وحدت تشکیکی وجود قابل توجیه است اما در این نظریه خبری از وحدت تشکیکی نیست و از همین رو پذیرش این امر که «وحدت هر عدد عین کثرتش است» به سادگی موجه نخواهد بود، شاید به همین سبب است که ملاصدرا متذکر می­گردد که «عدد وجودی ضعیف و ناقص دارد» و بدین صورت دلیل جمع وحدت و کثرت را در عدد،  وجود ناقص عدد معرفی می­کند.

 براساس نظریة عرضیت عدد، مجموع متشکل از ده انسان دارای وجود و وحدتی مغایر با وجود هر یک از انسان‌های حاضر در این مجموع است و همین وجود و وحدت متعلق به مجموع انسان‌ها، معروض عدد ده قرار می‌گیرد.

برای اثبات تلازم میان باور به وجود حقیقی مجموع و باور به عرضیت عدد می­توان راه کوتاه­تری نیز پیمود. اگر عدد را به عنوان یک عرض خارجی بپذیریم، بدون شک هر عرضی نیازمند موضوعی واحد است، بدین گونه که موضوع نیز همچون عرض باید دارای وجودی حقیقی باشد. از طرف دیگر همواره یک مجموع است که متصف به یک عدد می­گردد مانند مجموع ده انسان. اما هیچ یک از آحاد این مجموع برای معروضیت عدد سزاوارتر از آحاد دیگر نیست. بنابراین تنها امری که معروضیتش معقول می­نماید، مجموع از آن حیث که مجموع است، می­باشد. از آنجا که معروض عدد نیز باید دارای وجودی حقیقی باشد، بنابراین مجموع دارای وجودی حقیقی و مغایر با آحادش است.

ممکن است اشکال شود که نمی­توان از سخن ملاصدرا و ابن­سینا این امر را نتیجه گرفت که مجموع از آن حیث که مجموع است، وجودی مغایر با آحاد دارد؛ زیرا می­توان این سخنان را این گونه نیز تفسیر کرد: مجموع که وجودی مغایر با وجود آحاد ندارد، از حیث مجموع بودن معروض عدد قرار گرفته است. در پاسخ به این اشکال می­توان گفت که منظور از مجموع در اینجا گروهی از اشیاست که ترکیبی حقیقی میان آنها  محقق نیست. بنابراین در یک مجموع، هر یک از آحاد دارای وجودی مغایر با وجود دیگر آحاد است. حال می­توان پرسید منظور از این گزاره که «مجموع وجودی مغایر با وجود آحاد ندارد» چیست؟ دو معنا برای این گزاره قابل تصور است:

معنای اول: وجود مجموع در واقع عین وجود یکی از آحاد است. به عنوان مثال در مجموع درختان یک باغ، وجود مجموع را عین وجود بزرگ­ترین درخت باغ در نظر بگیریم. بطلان این تعبیر آشکار است. معنای دوم: وجود مجموع عین وجود تک­ تک آحاد است. در این صورت دیگر نمی­توان از «وجود مجموع (بما هو مجموع)» سخن گفت بلکه باید از عبارت «وجودهای مجموع» سخن به میان آورد. از طرف دیگر بر اساس نظریة عرضیت خارجی عدد، برای اثبات وجود خارجی عدد باید اثبات کرد که معروض این عدد نیز امری واحد و دارای وجودی خارجی است. بنابراین نمی­توان عدد را عرض خارجی مجموع دانست در عین حال مجموع را امری اعتباری و ذهنی محسوب کرد.

بنابراین به نظر می­رسد که نظریة عرضیت خارجی عدد تنها با پذیرش این نکته که مجموع دارای وجود حقیقی است، قابل پذیرش خواهد بود. به همین سبب کسانی که به دفاع از این نظریه پرداخته­اند، به طور ضمنی وجود حقیقی مجموع را نیز پذیرفته­اند.

براهین ابطال تسلسل

در میان برهان­های ابطال تسلسل، برهان «مبتنی بر مجموع» و برهان «وسط و طرف» بر پایة اعتقاد به وجود خارجی مجموع شکل گرفته­اند. ابتدا تقریری از این براهین ارائه می­دهیم:

برهان مبتنی بر مجموع

 اگر سلسلة علت‌ها و معلول‌های ممکن­الوجود بدون منتهی شدن به علتی که معلول نباشد (واجب­الوجود) ادامه یابد مجموع این ممکنات نامتناهی به عنوان یک سلسله در نظر گرفته می‌شود. این سلسله متشکل از مجموع تمام ممکنات مفروضی است که همة آنها موجودند و هر یک از آنها معلول دیگری است. بنابراین باید گفت که کلّ این سلسله نیز اولاً موجود و ثانیاً ممکن است.

  اما موجود بودن این سلسله بدین علت است که اجزاء سلسله موجودند. مرکب هنگامی معدوم می‌گردد که لااقل یکی از اجزای آن، معدوم گردد و چون تمام اجزای سلسله موجود باشد، مجموع مرکب نیز موجود است. اما دلیل ممکن بودن سلسله، نیازمندی سلسله به اجزایش است؛ اجزایی که همگی ممکن­اند و بدیهی است که هر آنچه محتاج به ممکن باشد، خود ممکن است. از آنجا که طبق فرض تمام اعضای این سلسله موجود و ممکن­اند بنابراین امر معدوم و نیز واجب الوجود داخل در سلسله نیستند.

بدین ترتیب روشن می­شود که سلسلة مفروض موجودی ممکن است و هر ممکنی نیازمند علت است. پس علت سلسله یا نفس سلسله است یا یکی از اجزاء آن و یا امری خارج از آن. اما علت سلسله، نفس سلسله نمی‌تواند باشد چون دور لازم می‌آید. علت سلسله جزء آن هم نیست زیرا در این صورت لازم می‌آید آن جزء، علت برای خودش و علل خودش باشد. زیرا که ایجاد سلسله به ایجاد اجزای آن است و آن جزء و اجزای قبل از آن که علل آن جزء محسوب می‌شوند نیز بخشی از اجزای سلسله هستند. بنابراین علت سلسله، امری خارج از سلسله است. این امر خارج از سلسله، واجب­الوجود است زیرا  بنابر فرض سلسله شامل جمیع ممکنات مفروض است و اگر امر مذکور ممکن باشد، جزئی از همین سلسله خواهد بود. همچنین معدوم نیز نمی‌تواند علت وجودی سلسله باشد. بنابراین واجب ناگزیر علت برای بعضی از اجزاء سلسله خواهد بود به گونه‌ای که سلسلة معلولات به آن ختم می‌شود و این امر سبب انقطاع سلسله می‌گردد. جزئی که معلول واجب است نمی‌تواند معلول اجزای دیگر سلسله باشد زیرا که بر معلول واحد دو علت مستقل وارد نمی‌آید. اما این نتیجه از دو جهت خلاف فروضی است که در ابتدا بیان شد. فرض بر این بود که این سلسله غیرمنقطع است و هر جزئی از آن معلول برای جزئی دیگر است. بنابراین تسلسل محال است. (ملاصدرا، 1410ق، ج2: 152و153) (ابن سینا، 1379ش: 568-567) (رازی، 1966م، ج1: 476-470)

برهان وسط و طرف

علت هر شیئی همراه با آن شیء موجود است. اگر معلولی را مفروض گیریم و برای آن، علتی را فرض کنیم و سپس برای آن علت نیز علتی دیگر را فرض کنیم، محال است که این سلسله تا بی‌نهایت پیش برود. زیرا اگر معلول و علتش و علتِ علتش در مقایسه با یکدیگر لحاظ شوند، هر یک از این سه شیء خاصیت خاص خود را دارند. علتِ علت، علت نخستین مطلق برای دو شیء دیگر است و دیگران نسبت معلولیت با آن دارند. هرچند آن دو شیء دیگر در این امر با هم اختلاف دارند که یکی معلول بی‌واسطه و دیگری معلول با‌واسطه است. خاصیت طرف معلول این است که علت شیء دیگری نمی‌باشد و خاصیت شیء وسط این است که علت شیئی و معلول شیء دیگری است خواه وسط یکی باشد و خواه بیشتر از یکی باشد و خواه ترتبی متناهی و خواه نامتناهی باشد.

 اگر امور کثیر متناهی در این سلسله مترتب گردند، تمام اجزای مابین دو طرف همانند یک وسط هستند که در خاصیت وسط در قیاس با دو طرف اشتراک دارند. همین طور اگر اجزای سلسله نامتناهی باشند و طرف علت، حصول پیدا نکند، اجزای نامتناهی دارای خاصیت وسط هستند زیرا هر گروه و دسته‌ای که از میان این اجزای نامتناهی اخذ و اعتبار شود، علت معلول اخیر خواهد بود. همچنین این دسته معلول نیز هست زیرا هر یک از اجزایش معلول هستند و جمله نیز وجودش تعلق به اجزایش دارد و چیزی که وجودش تعلق به معلول داشته باشد، معلول است. حکم مذکور در باب این دستة مفروض، با زیادت و نقصان تعداد آحاد این دسته تغییر نمی‌کند. بنابراین جایز نیست که در این سلسله، علت غیر معلول و نخستین نباشد زیرا در این صورت جمیع اجزای نامتناهی همانند وسط بدون طرف خواهند بود و وسط بدون طرف محال است. (ملاصدرا، 1410ق، ج2: 145-144) ؛ (سبزواری، 1384ش، ج2: 454-453) ( میرداماد، 1374ش:230-229 )

 

نقش مجموع در برهان­های ابطال تسلسل

سلسله را در یک معنای عام می­توان مجموعی تعریف کرد که میان اعضایش ترتب حاصل است. بنابراین سلسله مفهومی خاص­تر از مجموع است. از همین رو احکام مجموع قابل سرایت به سلسله است. در برهان مبتنی بر مجموع، سلسلة علت­ها و معلول­ها به عنوان یک مجموع در نظر گرفته می­شود که اعضای این مجموع همگی موجود و ممکن هستند، بنابراین نتیجه گرفته می­شود که «مجموع موجود و ممکن است». ابتدا باید به این سؤال پاسخ داده شود که  مجموع در این برهان به کدام یک از اقسام سه­گانة مذکور اشاره دارد. خواجه نصیر در اشارات در مقام تبیین این برهان، پس از معرفی اقسام سه­گانة جمله، بیان می­دارد که منظور از جمله یا سلسله در برهان مذکور، نوع اول است و به همین سبب، شیخ حکم کرده است که واژه‌های «جمله»، «آحاد» و «کل» به یک معنا هستند.( ابن­سینا، 1383ش، ج3: 24)

همچنین طرفداران برهان مبتنی بر مجموع در مقام پاسخ­گویی به اشکالی در باب موجودیت سلسله پس از اشاره به اقسام سه­گانة مجموع، بیان می­دارند که مقسم در اقسام سه­گانة فوق، مرکب موجود است و چون مقسم در اقسام وجود دارد، پس قسم نخست آن ـ معنای مورد نظر در این مقاله ـ  نیز که همان مرکب اعتباری است، موجود است.(ملاصدرا، 1410ق، ج2: 152 و 153 )

هرچند طرفداران این برهان بر نوع اول مجموع تأکید می­کنند اما ممکن است به نظر می­رسد که وجود رابطة علیت میان اجزای سلسلة مذکور در واقع نوعی از هیئت را در این مجموع ایجاد می­کند و به همین سبب سلسلة مذکور را باید مصداقی از نوع دوم مجموع تلقی کرد. در جواب به این اشکال به دو نکته اشاره می­کنیم:

 اول: با توجه به تعریف ارائه شده از نوع دوم مجموع، می­توان ادعا کرد که هیئتی که در نوع مذکور مورد توجه بوده است، هیئتی جسمانی است زیرا هیئت در این تعریف با واژة «وضع» همراه شده است. اما بدون شک میان سلسلة علل و معلولات نمی­توان هیئتی جسمانی متصور شد زیرا اکثر اجزای این سلسله را مجردات تشکیل می­دهند.

 دوم: هرچند در دیدگاه فیلسوفان مسلمان تعاریف مختلفی از علت و معلول و رابطة میان آنها ارائه می­شود تا آنجا که ملاصدرا معلول را عین ربط و اضافه به علت معرفی می­کند، اما باید توجه کرد که تنها زمانی مسئلة تسلسل قابل طرح است که بتوان برای موجودات این عالم که میان آنها رابطة علیت نیز برقرار است، نوعی تمایز و کثرت قائل شد. زیرا تسلسل در معنای خاص خود عبارت است ترتب شیء موجودی بر شیئی دیگر و ترتب شیء دوم بر سوم و ترتب شیء سوم بر چهارم و همین گونه تا بی‌نهایت به گونه‌ای که این اشیا به طور بالفعل و مجتمع با هم موجود باشند خواه از دو طرف نامتناهی باشند و خواه از یک طرف (طباطبائی، 1424ق: 217) و در یک تعریف خاص­تر عبارت است از ترتیب علل و معلولات تا بی‌نهایت به گونه‌ای که شیئی معلول برای شیء دیگری باشد و شیء دوم نیز معلول برای شیء دیگری باشد و این روند تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد. ( سبزواری، 1384ش، ج2: 450پاورقی)

بنابراین فارغ از جهت­گیری ما در باب نحوة رابطة علیت، یکی از مفروضات بنیادین بحث تسلسل این است که میان اعضای سلسله تکثر و تمایز وجود دارد. بدون فرض کثرت میان موجودات، مسئلة تسلسل فاقد موضوع می­گردد. از طرف دیگر همین کثرت خود محل نزاع قرار می­گیرد و براهین ابطال تسلسل در پی اثبات این امر برمی­آیند که کثرت این سلسله نمی­تواند نامتناهی باشد. اما موجوداتی که در بحث تسلسل بر سر تناهی و عدم تناهی کثرت حاصل در آنها، اقامة دعوی می­گردد، تنها از جهت اینکه یک عضو از اعضای این مجموع هستند، مورد توجه قرار می­گیرند و به همین سبب در این مجموع هیچ تمایزی میان عقول و موجودات جسمانی وجود ندارد و همان گونه که یک ذره شن عضوی از این مجموع است، عقل فعال  نیز عضوی دیگر از این مجموع می­باشد بدون اینکه هیچ امتیازی خاصی میان این دو موجود در نظر گرفته شود به جز اینکه عقل فعال در رتبه­ای بالاتر از آن ذرة شن در سلسلة مذکور قرار می­گیرد. بنابراین تنها کثرت صرف و بدون قید و شرط حاصل میان اعضای مجموع در بحث تسلسل مورد توجه قرار می­گیرد و ماهیت و نحوة رابطة میان اعضای سلسله در این مبحث مورد توجه نیست. از همین رو نوع اول مجموع را می­توان بر مفهوم سلسله در برهان­ مبتنی بر مجموع منطبق نمود.

بنابراین می­توان گفت که برهان مبتنی بر مجموع، براین اساس پایه­ریزی شده است که مجموع ممکنات موجود و ممکن است و با احتساب  مجموع به عنوان یک موجود حقیقی، وجود واجب که خارج از مجموع واقع شده است، اثبات می­شود.

در برهان وسط و طرف نیز مشاهده می­شود که وسط و طرف براساس مفاهیم علت و معلول تعریف می­گردند. سپس تمام اعضای سلسله به جز معلول اخیر به عنوان یک مجموع فرض می­گردد. در مرحلة بعد اثبات می­گردد که این مجموع مصداقی از وسط می­باشد بنابراین وجود طرف که همان علت اولی است، واجب می­گردد. در این برهان نیز همانند برهان مبتنی بر مجموع، سلسلة علل و معلولات به عنوان یک مجموع در نظر گرفته می­شود بنابراین در اینجا نیز نوع اول مجموع به کار گرفته شده است. وسط عبارت بود از عضوی از سلسله که از جهتی علت و از جهتی معلول قرار می­گیرد.  بنابراین تنها زمانی می‌توان حکم به وسط بودن یک مجموع یا سلسله کرد که بتوان از علت یا معلول بودن یک مجموع سخن گفت. علیت و معلولیت از عوارض ذاتی موجود است. به عبارت دیگر مقسم تقسیم به علت و معلول، موجود است. بنابراین تنها در صورتی می‌توان از علیت یا معلولیت یک مجموع سخن گفت که بتوان یک مجموع را متصف به موجودیت کرد. اگر برای مجموع وجودی حقیقی در نظر گرفته شود، پس آن مجموع می‌تواند به طور حقیقی متصف به علیت یا معلولیت گردد. اما اگر مجموع را تنها متصف به وجودی اعتباری کنیم در این صورت علت یا معلول بودن آن نیز امری اعتباری خواهد بود و مفید برهان نخواهد بود.

همان‌گونه که مشاهده شد برهان­های مبتنی بر مجموع و برهان وسط و طرف بر پایة باور به وجود حقیقی مجموع معتبر خواهند بود.

مخالفان وجود خارجی مجموع

بنابر آنچه بیان شد می­توان ادعا کرد که آن دسته از فیلسوفان­ مسلمان که عدد را عرض خارجی محسوب می­کردند و همچنین کسانی که از برهان­های وسط و طرف و مبتنی بر مجموع جهت ابطال تسلسل بهره بردند، به طور تلویحی وجود خارجی مجموع را پذیرفته­اند. اما از طرف دیگر می­توان دیدگاه­های مخالف فراوانی را نیز در میان آثار حکما یافت.

ملاصدرا در شرح خود بر الهیات شفا بر نظریة عرضیت خارجی عدد که توسط شیخ مطرح می­گردد، صحه می­گذارد و می­کوشد که با تکیه بر مبادی خاص حکمت متعالیه بر اشکالات وارد آمده بر این نظریه پاسخ دهد. او همچنین برهان وسط و طرف را أسد براهین در مبحث ابطال تسلسل معرفی می­کند (ملاصدرا، 1410ق، ج2: 145). با این حال او در باب برهان مبتنی بر مجموع بیان می­دارد که این برهان در نهایت سستی است که بیانش نشانة کم‌خردی است. او در نقد این برهان بیان می‌دارد که وجود در هر موجودی عین وحدتش است و وحدت نیز عین وجود است. هر شیئی که دارای وحدت حقیقی نیست، دارای وجود حقیقی نیز نخواهد بود. بنابراین مرکب از انسان و سنگ دارای وجود حقیقی نیست. سلسله نیز مرکبی اعتباری است که دارای وجودی حقیقی نیست. از همین رو این قضیه که «سلسله یک موجود ممکن است»، پذیرفتنی نیست. همچنین اگر برای این مجموع، وجودی حقیقی لحاظ گردد این اشکال بر آن وارد می‌آید که مجموع مفروض به علتی غیر از علل آحاد سلسله نیاز ندارد و تنها در صورتی این سلسله نیازمند علتی جداگانه است که وجودی مغایر با وجود آحاد سلسله داشته باشد که هر یک به وسیلة علت خاص خود موجود می‌گردد. مجموع هر چند از لحاظ مفهوم مغایر با آحاد است ولی این تغایر مفهومی سبب نمی‌شود که برای مجموع، وجودی مغایر با وجود آحاد باشد.(ملاصدرا، 1410ق، ج2: 157و 158)

ملاصدرا در سخن فوق میان دو امر تفاوت قائل شده است یکی اینکه مجموع دارای وجودی حقیقی باشد و دوم اینکه مجموع دارای وجودی مغایر با وجود آحادش باشد. به نظر می‌رسد این تفکیک پذیرفتنی نیست. زیرا همان گونه که در  بخش­های پیشین مقاله نشان داده شد، نمی‌توان حالتی را تصور کرد که مجموع دارای وجودی حقیقی باشد اما وجودی مغایر با وجود آحادش نداشته باشد. آحاد کثیر دارای وجودات کثیر هستند. بنابراین اگر وجود مجموع مغایر با وجود آحادش نباشد، باید یکی از وجودات متکثر متعلق به آحاد را به مجموع نیز نسبت بدهیم که ترجح بدون مرجح لازم می‌آید.

ملاصدرا بعد از نقد برهان مبتنی بر مجموع در کتاب اسفار به بیان اشکال مقدری دربارة نحوة وجود عدد می‌پردازد: اکثر حکما  عدد را در عالم خارج موجود می‌دانند و عدد صرف آحاد نیست، پس چگونه می‌توان حکم کرد که مجموع وجودی غیر از وجود آحادش ندارد؟ ملاصدرا در پاسخ به این اشکال می‌آورد که عدد بدین معنا دارای وجود خارجی است که وحدت‌های کثیر در عالم خارج موجود هستند. اما چنین نیست که اعداد در عالم خارج غیر از صرف آحاد باشند بلکه اعداد عین آحاد هستند. اخذ کثرت و عدد همچون یک شیء واحد دارای احکامی غیر از احکام آحاد است همانند اتصاف به عشریت، مجذوریت، أصمیت. بنابراین عدد به عنوان یک شیء واحد تنها در ذهن موجود است. هر چند که ممکن است برای احکام متعلق به آنها مصداق و مطابقی در خارج از جهت وجود آحاد کثیر یافت گردد. (ملاصدرا، 1410ق، ج2: 162-161)

همان گونه که مشاهده می­شود ملاصدرا در اینجا نظریة عرضیت خارجی عدد را نمی­پذیرد و برای عدد به عنوان یک شیء واحد تنها وجود ذهنی قائل می­گردد. همچنین طرح اشکال مقدر فوق و پاسخ ملاصدرا در مبحث ابطال تسلسل تأکیدی بر این نکته است که آن نوع از مجموع که در بحث عدد از آن یاد می­شود، همان نوعی از مجموع است که در برهان­های ابطال تسلسل مورد نظر است.

ملاصدرا همچنین در کتاب شواهد می­آورد که «موضوع کثرت همانند مجموع حاصل از ده انسان از آن حیث که ده نفر هستند، برای آنان وجودی غیر از وجود آحاد نیست مگر به صرف اعتبار عقل، بنابراین همان گونه که عقل برای این مجموع، وجودی را اعتبار می­کند، وحدتی نیز برای این مجموع اعتبار می­کند»6 (ملاصدرا، 1360: 65). بدین ترتیب ملاصدرا در مواضع یادشده، وجود خارجی و حقیقی را برای مجموع از آن حیث که مجموع است، نمی­پذیرد.

تفتازانی نیز در مقام نقد برهان مبتنی بر مجموع می­آورد که که ما نمی‌پذیریم که علاوه بر آحاد، سلسلة مفروض نیز نیازمند به علت است. در صورتی سلسله نیازمند به علت است که وجودی مغایر با وجود افراد و آحادش داشته باشد که هر یک از آنها به علت سابق بر خود موجودند و این قول که «سلسله ممکن است»، یک عبارت خالی از معناست و سلسله مجموع ممکناتی است که هر یک به واسطة علت خود موجود می‌گردند. بنابراین چگونه ممکن است که سلسله نیازمند به علتی غیر از علت آحاد خود باشد؟ همانند مجموعة «ده انسان» که به علتی غیر از علت آحاد خود نیاز ندارد و اینکه گفته می‌شود که وجود افراد غیر از وجود کل آنهاست، کلامی خالی از معنای محصل است. (تفتازانی، 1409ق، ج2: 119و120)

مطهری در این باب بیان می‌دارد که میان آحاد و مجموع فرق است. اگر در اینجا ده نفر وجود دارند. ذهن دو اعتبار می‌کند هر چند در واقعیت یک چیز بیشتر نیست. یک بار آحاد را بدون اعتبار اجتماع  آنان در نظر می‌گیرد و همه را در کنار یکدیگر می‌بیند. یک بار نیز اجتماع آنان را اعتبار می‌کند. بدین گونه که افرادی را که واقعاً در خارج مرکب نیستند و آحادی جدا از یکدیگرند، ذهن در عالم اعتبار خودش به اینها یک صورت و وحدت می‌بخشد. بنابراین مجموع را به عنوان یک کل اعتبار می‌کند و در مورد مجموع حکم می‌کند نه در مورد این فرد و آن فرد بلکه در مورد مجموع از آن حیث که مجموع است. یعنی ذهن این آحاد را به منزلة یک ماده اعتبار می‌کند و در عالم اعتبار خودش یک صورت وحدانی به آنها می‌بخشد، اما این عمل در ذهن صورت می‌گیرد و در عالم خارج چنین چیزی وجود ندارد (مطهری، 1370ش، ج2: 36-35).

جوادی آملی نیز در حین نقد برهان وسط و طرف متذکر می­گردد که مجموع دارای وحدت اعتباری است و چون وحدت مساوق با وجود است، پس مجموع دارای وجود اعتباری است و معلولیت و علیت وجود اعتباری، نیز اعتباری می‌باشد. پس وسط بودن آن نیز اعتباری است. از این طریق نمی‌توان طرف حقیقی برای سلسله اثبات کرد.( جوادی آملی، 1386ش: 24)

 

استدلالی در جهت نفی وجود حقیقی مجموع

بعضی در جهت نفی وجود مجموع چنین استدلال می‌کنند: اگر مجموع وجود داشته باشد، از وجود مجموعی که شامل دو فرد است، وجود بی‌نهایت مجموع لازم می‌آید زیرا وجود کل همراه با وجود آحاد و افراد، مجموعی جدید را پدید می‌آورد و به همین قیاس تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد.

ملاصدرا هرچند وجود مجموع را نمی‌پذیرد ولی نقد فوق را هم وارد نمی‌داند و می‌گوید: از اعتبار مجموع دو شیء، اعتبار آن دو شیء، بار دیگر، همراه با آن مجموع لازم نمی‌آید. زیرا این امر مستلزم تکرار اجزای ماهیت است و تا هنگامی که در اجزای ماهیت افزایش پدید نیاید، مجموع‌ جدیدی به وجود نمی‌آید. مراد از مجموع همان دو فردی است که در خارج هستند، به گونه‌ای که اعتبار وصف در آن دخیل نیست. بنابراین کسی که ادعا می‌کند که کل، موجودی مغایر با هر یک از اجزاء است، این اشکال بر او وارد نیست که هیئت اجتماعی و کلیت، وجودی جدا از وجود اجزاء دارد. کل همانند واحد است؛ واحد موجود است ولی وصف وحدت دارای وجودی مغایر با ذات واحد نیست.(ملاصدرا، 1410ق، ج2: 161-160)

اشکال ملاصدرا قابل نقد است زیرا اگر مجموع  وجودی حقیقی داشته باشد، باید دارای ماهیتی حقیقی نیز باشد زیرا که در غیر این‌صورت، مجموع، وجود بدون ماهیت خواهد بود در حالی که فیلسوفان معتقدند که تنها ذات باری تعالی وجود عاری از ماهیت دارد. به طور حتم ماهیت مجموع تنها صرف مجموع ماهیت آحاد آن نیست بلکه وصف اجتماع آنها نیز در این ماهیت لحاظ می‌گردد.

قیاس به صفت وحدت در اینجا قابل قبول نیست زیرا از نظر ملاصدرا، وحدت مساوق با وجود است بلکه مثال مناسب در این باب بحث نظریة وجود خارجی عدد است. ابن­سینا در این باب بیان می‌دارد که عدد نوعی بنفسه است. عدد از این حیث که مجموع است، امری واحد است که دارای خواص مختص به خود است و این وحدت، ماهیت عدد را تشکیل می‌دهد (ابن‌سینا، 1385ش: 127). ملاصدرا نیز در تأیید سخن شیخ می‌آورد که ماهیت عدد دارای وجودی ضعیف است زیرا دارای وحدتی ضعیف است (ملاصدرا، 1382، ج1: 502) بنابراین از نظر کسانی که عدد را عرض  اشیای خارجی می‌پندارند اجتماع آحاد، ماهیت هر عدد را تشکیل می‌دهد که مغایر با ماهیت آحاد مجموع است. از آنجا که نظریة عرضیت عدد حاصل باور به وجود حقیقی مجموع است، پس همان گونه که عدد می‌تواند دارای ماهیت حقیقی باشد، مجموع نیز می‌تواند دارای ماهیت حقیقی باشد. همچنین با توجه به آرای خاص ملاصدرا،  رابطة ماهیت با وجود همانند رابطة سایه با صاحب سایه است پس محال است که وجود ممکنی بدون ماهیت تحقق یابد.

همان گونه که مشاهده می­شود باور به وجود حقیقی مجموع در میان حکمای مسلمان مورد انتقادهای جدی قرار گرفته است. در ادامه این باور را از از منظری کاملاً متفاوت که براساس پارادوکس راسل و نظریة مجموعه­ها در ریاضیات شکل می­گیرد، بررسی می­کنیم و نقدی بسیار جدی به نظریة وجود حقیقی مجموع وارد می­آوریم.

 

 پارادوکس راسل در نظریة مجموعه‌ها

نظریة مجموعه‌ها در اواخر قرن نوزدهم توسط کانتور(Cantor)  پایه­گذاری شد. این نظریه در تمام شاخه­های ریاضیات نفوذ کرد و بنیان ریاضیات جدید را تشکیل داد. تعارضات و پارادوکس‌های گوناگونی در نظریة کانتور کشف شد.  مهم­ترین پارادوکس کشف شده در این نظریه، پارادوکسی بود که راسل آن را معرفی کرد. ویژگی منحصر به فرد پارادوکس راسل این است که در تقریرش تنها از دو مفهوم مجموعه و عضویت سود برده می­شود و از طرف دیگر مفاهیم مجموعه و عضویت نیز با استفاده از درک شهودی ما از این مفاهیم تعریف می­گردند. کانتور در تعریف مجموعه بیان ­می­دارد که «منظور از مجموعه هر دسته‌ای از اشیاء متمایز در شعور یا فکر ماست به صورت یک کل». از طرف دیگر این پارادوکس قابل بیان به شکل صوری است بنابراین نمی­توان این پارادوکس را حاصل ابهامات لفظی دانست.  این پارادوکس  به صورت زیر تقریر می‌شود:

تعریف کانتور از مجموعه سبب می­گردد فرض   به عنوان مجموعة تمام مجموعه‌ها ممکن گردد؛ بدین گونه که تمام مجموعه‌های مفروض در عالم اعضای مجموعه‌ی  را تشکیل می‌دهند. از طرف دیگر مجموعة  Rرا چنان تعریف می‌کنیم که اعضایش شامل آن دسته از اعضای مجموعة   گردد که عضو خودشان نیستند. ذکر این نکته لازم است که بعضی از مجموعه‌ها به گونه‌ای هستند که خودشان نیز داخل در تعریف خود می‌گردند همانند مجموعة همة غیرانسان‌ها زیرا که مجموعة همة غیرانسان‌ها، خود نیز غیر انسان است. اما بعضی دیگر از مجموعه‌ها عضو خودشان نیستند همانند مجموعة انسان‌ها زیرا که مجموعة همة انسان‌ها، خود انسان نیست. بنابراین هر مجموعه‌ای یا عضو خودش است یا عضو خودش نیست. حال تعریف مجموعة R را به صورت زیر نشان می‌دهیم:  

 

 در این تعریف، حرف S معرف یک مجموعة فرضی است که عضو مجموعة R است. بدین ترتیب  جهت تشخیص این امر که آیا مجموعه‌ای عضو مجموعة R است یا نه؟ باید بتوان آن مجموعه ‌را جانشین S کرد. نشانه‌ی  نیز بیانگر عضویت یک شیء در یک مجموعه است. حال می‌توان پرسید که آیا مجموعة R  عضو خودش است یا نه؟ جواب به این سؤال از دو فرض خارج نیست:

فرض نخست: مجموعة R  عضو خودش است. بنابراین باید بتوان در تعریف فوق، R  را جانشین S نمود.

 

این استدلال بدین معناست که برای اینکه مجموعة  R عضو خودش باشد باید عضو خودش نباشد.

فرض دوم: مجموعة  R عضو خودش نیست. بنابراین نباید در تعریف مذکور صدق کند:

 

نشانة   بیانگر نقض است. بنابراین برای اینکه مجموعة R عضو خودش نباشد، باید عضو خودش باشد. بدین ترتیب فرض مجموعة همة مجموعه­ها سبب می­شود که تناقض () لازم آید.(T.Lin, 1981: p.57)

 با وجود اینکه مفهومی از مجموعه که پارادوکس راسل براساس آن شکل گرفته است، مفهومی شهودی و قریب به ذهن است اما  ریاضی­دانان معتقدند که آنچه سبب بروز این پارادوکس می­گردد همین تعریف شهودی و بی قید و شرط مفهوم مجموعه است. همچنین استفاده از واژة «دسته» در آن سبب گشته است که این تعریف دوری گردد. زیرا دو واژة «مجموعه» و «دسته» مترداف هستند. برای اجتناب از عارضاتی‌ همچون پارادوکس راسل باید واژه‌های «مجموعه» و «عنصر» را به عنوان واژه‌های تعریف­ناپذیر و اولیه پذیرفت. ریاضی‌دانان راه‌حل‌های گوناگونی برای رفع این پارادوکس ارائه داده‌اند که همگی معطوف به تحدید مفهوم مجموعه است. راه ‌حل رایج در این باب مرتب کردن نظریة ‌مجموعه‌ها به روش اصل موضوعی است. در این روش مفهوم مجموعه تعریف نمی‌گردد بلکه معنای این ‌واژه ‌در حین تقریر اصول موضوعة نظریة مجموعه‌ها روشن می‌گردد. تا به حال سیستم‌های اصل موضوعی گوناگونی برای این نظریه ارائه شده است هرچند که هنوز یک سیستم اصل موضوعی کاملا رضایت­بخش  ارائه نشده است که بتواند پاسخ­گوی همة مسائل در این حوزه باشد. از این رو در راه‌حل‌های مذکور دیگر مجموعة تمام مجموعه‌ها پذیرفته نمی‌گردد. سیستم اصل موضوعی زرملو- فرانکلین یکی از رایج‌ترین این نظریه‌ها است. در واقع با استفاده از سیستم زرملو- فرانکلین مفهوم مجموعه چنان محدود گشت که وجود مجموعة تمام مجموعه‌ها در نظریة مجموعه‌ها غیر ممکن گردید.(T.Lin, 1981: p57-58)

 

جایگاه «مجموعه» در نزد فلاسفة مسلمان

قبل از هر چیز لازم است که نسبت  «مجموعه» در نظریة مجموعه‌ها و  «مجموع» و «جمله» و « سلسله» در این مقاله را مشخص کنیم. «مجموعه» در واقع  یک شیء ریاضی (mathematical object) است. در فلسفة ریاضی معاصر در باب نحوة وجود اشیای ریاضی نظرات و مکاتب مختلفی مطرح شده­اند7 در حالی که اصطلاحات «جمله»، «مجموع» و «سلسله» در فلسفة اسلامی به گروهی از اشیای فیزیکی یا متافیزیکی اشاره دارد.  انقسام سه­گانة پیش­گفته از مجموع که  خصوصیت فیزیکی تشکیل هیئت و وضع جدید از آحاد یا خصوصیت متافیزیکی حصول شیء جدیدی که منشاء اثر باشد، ملاک انقسامش قرار می­گیرد، شاهد این مدعاست.  آنچه در اینجا باید مورد بررسی قرار گیرد، این مسئله است که آیا «جمله»، «مجموع» و «سلسله» می­توانند  تفسیر فیزیکی یا متافیزیکی مناسبی از «مجموعه» به عنوان یک شیء و هویت ریاضی ارائه دهند؟ 

همان گونه که اصول و مفاهیم ریاضیاتی جایگاه مهمی در فیزیک دارند و در مباحث فیزیکی مفاهیم ریاضیاتی مورد تفسیر قرار می­گیرند، در متافیزیک نیز می­توان به دنبال تفسیر متافیزیکی مناسب از اشیا و اصول ریاضیاتی بود. به عنوان مثال این گزاره که «اگر چهار عدد سیب به چهار عدد گلابی افزوده شود، در مجموع هشت عدد میوه خواهیم داشت» در واقع تفسیری فیزیکی از گزارة ریاضیاتی «8=4+4» می­باشد. از طرف دیگر در واقعیتی که گزارة فوق از آن خبر می­دهد، سیب­ها می­توانند زرد رنگ یا سبز رنگ باشند. گلابی­ها می­توانند رسیده یا کال باشند. اما گزارة «8=4+4» تنها وجه ریاضیاتی این واقعیت فیزیکی را نشان می­دهد.

به نظر می‌رسد که نوع اول جمله در تقسیم­بندی خواجه قرابت شدیدی به تعریف کانتور از مجموعه دارد که در بالا ارائه شد. کانتور بیان می‌داشت که «منظور از مجموعه هر دسته‌ای از اشیاء متمایز در شعور یا فکر ما است به صورت یک کل». در نوع اول جمله نیز صرف وجود آحاد متمایز ـ البته در عالم خارج ـ و بدون هیچ قید و شرط دیگری سازندة جمله خواهند بود. لازم است یادآوری کنیم که همین تعریف شهودی کانتور از مفهوم مجموعه سبب بروز پارادوکس راسل گردیده است. تعریف ارائه شده توسط خواجه همچون تعریف کانتور، دوری است زیرا در تعریف «جمله» از واژة «اجتماع » سود برده شده است.

 اعوانی در جهت مقایسة این دو حیطة مفهومی به سراغ واژه‌های «کل» و «کلی» رفته است. ملاصدرا بیان داشته ‌است که میان کل و کلی تفاوت‌های ذیل وجود دارد: 1- کل از آن حیث که کل است در خارج موجود است اما کلی تنها در ذهن موجود است؛ 2- کل دارای اجزاء است اما کلی دارای جزئیات است؛ 3- کلی برای جزئی مقوم است اما کل به وسیلة اجزایش قوام می‌یابد؛ 4- طبیعت کل همان طبیعت جزء نیست اما طبیعت کلی بعینه طبیعت جزئی است؛ 5- کل برای هر جزء به تنهایی، کل نیست اما کلی برای هر جزئی به تنهایی کلی است؛ 6- کل، اجزایش متناهی است اما کلی دارای جزئیات نامتناهی است؛ 7- در کل، حضور اجزاء الزامی است اما کلی نیاز به حضور جزئیات به صورت مجتمع ندارد( ملاصدرا، 1410ق ، ج4: 213). همچنین می‌توان گفت که کلی بر جزئی قابل حمل به حمل مواطات است اما کل بر جزء قابل حمل به مواطات نیست.

 اعوانی معتقد است که مفهوم «مجموعه» گاهی با «کل» و گاهی با «کلی» مطابقت دارد. او در باب صدق مفهوم مجموعه بر مفهوم کلی بیان می‌دارد که

1- در نظریة مجموعه‌ها از «مجموعة همة اعداد طبیعی» یا «مجموعة اعداد زوج» سخن می‌گوییم. اعداد طبیعی یا اعداد زوج مفاهیمی کلی است که دارای افراد است و بر هر یک از افراد خود به حمل مواطات صدق می‌کند.

2-در نظریة مجموعه‌ها، گاهی اوقات یک مجموعه‌، عضو خودش نیز قرار می‌گیرد بنابراین مجموعه از این جهت با کلی مطابقت پیدا می‌کند اما کلّ هیچ­گاه عضو خودش قرار نمی­گیرد. 

3- در نظریة مجموعه­ها، مجموعه‌ای که دارای هیچ عضوی نباشد، یعنی مجموعة تهی، را مجموعه‌ای مستقل فرض می‌کنند( اعوانی، 1375: 250-249) همان گونه که در فلسفه نیز مفاهیم کلی بدون مصداق قابل تصور است ولی کلّ بدون اجزاء مورد قبول نیست.

در باب دلیل اول باید گفت که مفاهیم «عدد طبیعی» یا «عدد زوج» کلی است و بر جزئیات خود به مواطات حمل می‌شود اما مفهوم «عدد طبیعی» یا «عدد زوج» مغایر با مفهوم «مجموعة اعداد طبیعی» و «مجموعة اعداد زوج» است و این مفاهیم به مواطات بر اعداد زوج حمل نمی‌شوند. به عنوان مثال نمی‌توان گفت: « چهار مجموعة اعداد زوج است» یا حتی نمی‌توان گفت «چهار اعداد زوج است». به طور کلی هنگام حمل مفاهیم کلی بر مصادیقشان هیچ گاه واژة کلی را جمع نمی‌بندند در حالی که اگر یک مفهوم کلی در باب یک کل و سلسله به کار رود، جمع بسته می‌شود. بر همین اساس میان مفهوم انسان و مفهوم «مجموعة انسان‌ها» تفاوت وجود دارد. اولی کلی است و دومی کل است.

 اما در مورد دلیل دوم باید گفت که طبیعت کلی می‌تواند جزء ماهوی و مقوم مصادیق خود قرار گیرد اما این امر غیر از آن است که گفته شود مفهوم کلی می‌تواند جزء مصادیق خود قرار گیرد. بدیهی است که مفهوم انسان خود جزء مصادیق انسان قرار نمی‌گیرد. حتی می‌توان گفت که این ویژگی میان مجموعه و کل مشترک است زیرا این گزاره که «مجموعة غیرانسان‌ها، خود غیر انسان است» علی القاعده از نظر فیلسوفان‌ مسلمان پذیرفتنی است بنابراین گاهی کل، جزء آحاد خودش قرار می‌گیرد.

در مورد دلیل سوم نیز می­توان گفت که میان مجموعة تهی در نظریة مجموعه‌ها و مفاهیم کلی بدون مصداق هیچ سنخیتی وجود ندارد. زیرا در نظریة مجموعه‌ها بیان می‌شود که «مجموعة تهی زیرمجموعة همة مجموعه‌ها است» در حالی که این سخن دربارة مفاهیم کلی بدون مصداق بی‌معنا است. 

در مورد تفاوت‌های ذکر شده میان کل و کلی از زبان ملاصدرا نیز باید گفت که تفاوت اول که به موجودیت کل در خارج اشاره دارد، محل بحث و نزاع است و همان گونه که در بخش­های قبلی نشان داده شد بسیاری از فیلسوفان وجود حقیقی برای کل و مجموع را نمی­پذیرند. تفاوت ششم نیز که به تناهی اجزای کل اشاره دارد، محل بحث است. خواجه نصیر در جواب به اشکال فخر بیان داشته است که این مسئله که «آیا اطلاق  واژة «جمله» بر امور نامتناهی صحیح است یا نه؟»، یک بحث لفظی است (ابن سینا، 1383ش، ج3: ص22).

بنابراین به نظر می‌رسد که بتوان با اندکی تسامح مفاهیم « کل»، « مجموع»، « جمله» و «سلسله» در نظر فیلسوفان مسلمان را تفسیر فیزیکی و متافیزیکیِ مناسبی از مفهوم ریاضیاتی «مجموعه» در نظریة مجموعه‌ها دانست. حتی اگر این تفسیر کامل  نباشد، می‌توان به طور حتم بیان داشت  مفهومی از «مجموعه» که در تقریر پارادوکس راسل مورد استفاده قرار گرفته است، می­تواند معادل ریاضیاتی مناسبی برای مفاهیم فیزیکی و متافیزیکی « کل»، «مجموع» و «سلسله» باشد. به عبارت دیگر با مفهوم «مجموعه» می­توان جنبة ریاضیاتی «مجموع» را مورد کاوش و بررسی قرار داد و غفلت از دیگر جنبه­های فیزیکی یا متافیزیکی « مجموع» نمی­تواند تأثیری در این تحلیل ریاضیاتی بگذارد. به عبارت دیگر این مسئله که فلاسفة مسلمان « مجموع» را برای اشاره به آحاد انسان­ها، فرشتگان، عقول و یا همة ممکنات به کار ببرند تأثیری در تحلیل ریاضیاتی حاصل از به کارگیری مفهوم « مجموعه» ندارد.

 

پارادوکس راسل از نگاهی دیگر

در این قسمت می­کوشیم که از تک تک عبارات ریاضیاتی پارادوکس راسل تفسیری فیزیکی و متافیزیکی ارائه دهیم تا در نهایت استخراج نتایج فلسفی از این پارادوکس ریاضیاتی قریب به ذهن گردد. مفهوم « مجموعه» را برای اشاره به یک دسته از اشیای فیزیکی تا متافیزیکی متمایز بکار می­بریم. همانند مجموعة انسان­ها یا فرشتگان یا اجسام یا مجموعة ممکنات. همان طور که اشاره شد این تفسیر فیزیکی و متافیزیکی از مفهوم «مجموعه» ما را به مفاهیم «کل»، «مجموع» و «جمله» در نزد فیلسوفان مسلمان می­رساند. مفهوم «عضویت» نیز براساس آنچه دربارة مفهوم مجموعه گفته شد، قابل تفسیر است. به عنوان مثال زید عضوی از مجموعة انسان­ها است و یا عقل فعال عضوی از مجموعة عقول است. اما زید عضوی از مجموعة فرشتگان نیست. مفهوم «مجموعة همة مجموعه­ها» که با حرف  به آن اشاره شده است، نیز مفهومی قابل درک است؛ بدین گونه که می­توان مجموعه­ای را فرض کرد که تمام اعضایش را مجموعه­های دیگر تشکیل داده­اند مثلاً مجموعه­ای که شامل مجموعة انسان­ها، اسب­ها، شترها و گاوها می­گردد. حال می­توان این مجموعه را چنان گسترش داد که تمام مجموعه­های عالم را در بر گیرد که به گونه­ای که هیچ مجموعه­ای در این عالم یافت نگردد مگر اینکه عضو این مجموعه باشد. این نکته نیز قابل ذکر است که همة موجودات عالم نیز خود به تنهایی به عنوان یک مجموعة تک عضوی عضو مجموعة تمام مجموعه­ها هستند. طبق تفسیر ارائه شده از مفهوم «مجموعه» و «عضویت»، هیچ محذوریتی برای تحقق «مجموعة همة مجموعه­ها» وجود ندارد. هر چند که تفسیر وجودشناختی از این مفهوم بستگی به  جایگاه وجودشناختی « مجموعه» دارد. اگر مجموعه را تنها یک مفهوم اعتباری بدانیم که تنها در ذهن تحقق دارد آنگاه مجموعة همة مجموعه­ها نیز مفهومی اعتباری می­گردد اما اگر مجموعه دارای وجودی عینی باشد ناگزیر مجموعة همة مجموعه­ها نیز موجودی عینی خواهد شد.

 پارادوکس راسل بر پایة دو گونه از مجموعه­ها بنا شده است: مجموعه­هایی که عضو خودشان نیستند و مجموعه­هایی که عضو خودشان هستند. این دو گونه از مجموعه نیز قابل تفسیر فیزیکی و متافیزیکی هستند. به عنوان مثال مجموعة انسان­ها، انسان نیست، یا مجموعة عقول، عقل نیست. بنابراین مجموعة انسان­ها و مجموعة عقول عضو خودشان نیستند. اما مجموعة غیر انسان­ها، غیر انسان است و مجموعة غیر فرشتگان، غیر فرشته است بنابراین مجموعة غیر انسان­ها و غیر فرشتگان عضو خودشان هستند.

 اعضای مجموعة همة مجموعه­ها «» به دو دسته تقسیم می­گردد: مجموعه­هایی که عضو خودشان نیستند و مجموعه­هایی که عضو خودشان هستند. این تقسیم دارای حصر عقلی است بنابراین هیچ مجموعه­ای خارج از این دو گونه نمی­باشد.  حال آن دسته از اعضای مجموعة  را که عضو خودشان نیستند، در یک مجموعة جدید به نام R قرار می­دهیم. بدین ترتیب R مجموعة همة مجموعه­هایی است که عضو خودشان نیستند. به عنوان مثال مجموعة انسان­ها، اسب­ها، شترها، درختان، جانداران، صندلی­ها، پادشاهان، عقول و فرشتگان همگی عضو مجموعة R هستند.

حال با توجه به اینکه تقسیم مجموعه­ها به دو گونة مذکور دارای حصر عقلی است، پس مجموعة R نیز یا عضو خودش است یا عضو خودش نیست؟ بنابراین از دو حال خارج نیست:

فرض نخست: مجموعة R  عضو خودش باشد. با توجه به اینکه ویژگی مشترک اعضای مجموعة  R  این است که عضو خودشان نیستند. بنابراین تنها اگر مجموعة  R عضو خودش نباشد می­تواند عضو خودش باشد. این نتیجه دارای تناقض است.

فرض دوم: مجموعة Rعضو خودش نیست. در این صورت نیز مجموعة R باید عضو خودش باشد تا بتواند عضو خودش نباشد. این نتیجه نیز متناقض است.

بدین ترتیب، تصویر فیزیکی و متافیزیکی پارادوکس راسل کامل می­گردد. پارادوکس راسل اولاً و بالذات متعلق به حوزة ریاضیات است. بنابراین راه حل واقعی آن را باید در ریاضیات جست. راه حل ریاضی­دانان در باب پارادوکس فوق همگی معطوف به ایجاد محدودیت در تعریف مفهوم «مجموعه» است به گونه­ای که دیگر فرض «مجموعة همة مجموعه­ها» ممکن نمی­گردد. اما نحوة برخورد فلاسفه با این پارادوکس براساس پیش فرض­های پذیرفته شده در باب مجموع می­تواند تفاوت یابد.

 

استخراج نتایج فلسفی از پارادوکس راسل

استخراج نتایج فلسفی از یک تحلیل ریاضیاتی منوط به این است که جنبه­های فلسفی بحث و نحوة ارتباط آنان با مباحث ریاضیاتی مورد توجه قرار گیرند و مقدمات فلسفی لازم برای ایجاد این پل از ریاضیات به فلسفه در طرح مسئله لحاظ گردند. در ابتدا لازم به ذکر است که برای ورود پارادوکس راسل به مباحث فلسفی لازم نیست که تمام اصول موضوعه و قضیه‌های نظریة مجموعه‌ها مورد پذیرش قرار گیرد. بلکه پارادوکس راسل  تنها بر پایة دو مفهوم شهودی مجموعه و عضویت بنا شده است. همان گونه که در بخش قبل روشن گردید این پارادوکس را می­توان بدون توجه به دیگر جوانب نظریة مجموعه­ها مورد توجه قرار داد.

نظر فلاسفه در باب نحوة وجود مجموع  در تفسیر فلسفی از این پارادوکس نقش محوری را بازی می­کند. از دو حال خارج نیست. اول: مجموع دارای وجودی عینی و مغایر با وجود آحادش در خارج است. دوم: اینکه مجموع دارای وجودی اعتباری است. 

در حالت اول همان گونه که مجموعة اشیای متشخص و متعین همانند مجموعة انسان­ها دارای وجودی عینی و مغایر با وجود اعضایش است، مجموعه­ای که اعضایش را مجموعه­های دیگر تشکیل می­دهند نیز دارای وجودی عینی است؛ بدین معنا که مجموعه­ای که اعضایش را مجموعة انسان­ها، اسب­ها، شترها و گاوها تشکیل می­دهد، نیز دارای وجودی عینی است. به همین روال مجموعة همة مجموعه­هایی که عضو خودشان نیستند نیز دارای وجودی عینی و متشخص است. طبق این پارادوکس، مجموعة همة مجموعه­هایی که عضو خودشان نیستند به عنوان یک موجود عینی یا عضو خودش است یا عضو خودش نیست و در هر صورت به تناقض می­انجامد. بدین ترتیب پارادوکس راسل تبدیل به یک معضل فلسفی می­گردد.

 با تفسیر فلسفی ارائه شده از این پارادوکس، مفهوم متافیزیکی «مجموع موجودات عالم» متناظر با مفهوم ریاضیاتی «مجموعة همة مجموعه­ها» می­گردد. زیرا از طرفی هر یک از موجودات بالفعل و متعین این عالم را می­توان مجموعه­ای با یک عضو در نظر گرفت که لاجرم عضوی از مجموعة همة مجموعه­ها است و از طرف دیگر بخش بزرگی از موجودات عالم را نیز مجموعه­هایی تشکیل می­دهند که اعضایشان یا شامل اشیای جزئی و متشخص و یا شامل مجموعه­های دیگر می­گردند. در این صورت مفهوم متافیزیکی « مجموع موجودات عالم» همانند همتای ریاضیاتی خود مفهومی متناقض می­گردد.

 از طرف دیگر عدم تمایز میان اشیای متشخص و مجموعه­ها در طرح پارادوکس راسل راه را برای استخراج نتیجة مذکور باز می­کند. به عبارت دیگر در این پارادوکس، هیچ تمایزی میان اشیای متشخص و جزئی و مجموعه وجود ندارد. به همان صورت که یک انسان یا یک اسب می‌تواند جزء یک مجموعه باشد، یک مجموعه همانند مجموعة انسان‌ها نیز می‌تواند جزء یک مجموعة دیگر قرار بگیرد. ریاضی‌‌دانان در این امر هیچ تفاوتی میان مجموعه و افراد جزئی و متعین قائل نیستند.

با تبدیل پارادوکس راسل به یک معضل فلسفی، جستجو در راه حل­های ریاضی­دانان در باب پارادوکس راسل نمی­تواند نتایج خوشایندی را برای این معضل فلسفی به بار آورد. زیرا همة این راه­حل­ها معطوف به محدودیت در تعریف مفهوم مجموعه هستند. در حالی که در دیدگاه فیلسوفان مسلمان، در گسترش دامنة مفاهیمی همچون «کل»، «مجموع» و «جمله» هیچ محدودیتی مشاهده نمی­گردد و عباراتی همچون « مجموع موجودات عالم» در این دیدگاه فلسفی مقبول افتاده است.

اما اگر طبق حالت دوم، مجموع را دارای وجودی اعتباری بدانیم، دیگر پارادوکس راسل قابلیت تبدیل به یک معضل فلسفی را نخواهد یافت. زیرا همان گونه که مجموعة اشیای متشخص وجودی اعتباری دارد، مجموعة همة مجموعه­هایی که عضو خودشان نیستند نیز وجودی اعتباری دارد. بدین ترتیب پارادوکس راسل تنها در حیطة امور اعتباری باقی می­ماند و دیگر نمی­تواند تبدیل به یک معضل متافیزیکی گردد.

 

نتیجه

فیلسوفان مسلمان نظرات گوناگونی را در باب نحوة وجود مجموع مطرح کرده­اند. باور به نظریة عرضیت عدد و همچنین توسل به برهان­های مبتنی بر مجموع و وسط و طرف برای ابطال تسلسل بدون اذعان به وجود حقیقی مجموع امکان ندارد. از طرف دیگر حکمایی که وجود مجموع را اعتباری می­دانند، ناگزیر به انتقاد از برهان­های مذکور پرداخته، منکر عرضیت عدد نیز می­شوند. هر چند در این میان فیلسوفی همچون ملاصدرا دیدگاه­های متفاوتی را اتخاذ می­کند و گاهی مجموع را متصف به وجود حقیقی کرده و برای اثبات این مدعا به قاعدة وحدت در عین کثرت توسل می­جوید و گاهی دیگر در جهت اثبات وجود اعتباری مجموع، به وحدت اعتباری مجموع اشاره می­کند.

پارادوکس راسل به عنوان یکی از نقاط عطف اندیشة بشری که زمینه­ساز تجدید نظر در بسیاری از آرای موجود در ریاضیات و منطق شد، در این زمینه می­تواند مورد توجه قرار گیرد. به نظر می­رسد که اعتقاد به وجود حقیقی مجموع، سبب می­گردد که این پارادوکس به سنت فکری ما نیز سرایت بکند و تبدیل به یک معضل فلسفی گردد. بدین ترتیب «مجموع موجودات عالم» تبدیل به یک مفهوم متناقض می­گردد. برای پرهیز از این پارادوکس چاره­ایی جز انکار وجود حقیقی مجموع متصور نیست.

 

پی­نوشت­ها

1-  أن یکون فی الموجودات أعداد فذلک أمر لاشک فیه إذا کان فی الموجودات وحدات فوق وحدة

2- فإذا تحققت وحدات فی الخارج فوق واحدة فثبت وجود العدد، إذ لیس معناه إلّا المرکب من الوحدات

3- المرکب من الأمور الوجودیة لایمکن أن یکون عدمیاً

4- الکثرة نفس العدد

5- قرچغای خان نیز در این باب متذکر می­گردد که « واژة کثرت و عدد مترادف هستند از آن جهت که حقیقت آنها یکی است» ( قرچغای خان، 1377، ج1: 284)

6- موضوع الکثرة کالرّجال العشرة من حیث کونهم عشرة لیس لهم وجود غیر وجودات الآحاد إلّا بمجرّد اعتبار العقل، و کما أنّ للعقل أن یعتبرها موجودة فله أن یعتبرها واحداً

7-  برای مطالعة بیشتر به منابع زیر مراجعه کنید:

Hersh, Reuben (1997), What Is Mathematics, Really?, Oxford: OxfordUniversity Press

Shapiro, Stewart(2000), Thinking about Mathematics,Oxford: OxfordUniversity Press

 

 

1- ابن سینا (1379ش)، النجاه من الغرق فی بحر الضلال ، مقدمه محمد تقی دانش پژوه، تهران: انتشارات دانشگاه تهران، چاپ دوم

2- ـــــــــ (1385ش)، الالهیات من کتاب الشفا، تحقیق آیه الله حسن زاده آملی، قم: موسسه بوستان کتاب، چاپ دوم

3- ـــــــــ ( 1383ش)، الاشارت و التنبیهات، همراه شرح خواجه نصیر الدین طوسی و قطب الدین رازی ، قم: نشر البلاغه، چاپ اول

4- اعوانی، غلام­رضا( 1375ش)، حکمت و هنر معنوی، تهران: انتشارات گروس

5- تفتازانی، سعدالدین(1409ق)، شرح المقاصد، تحقیق و تعلیق  عبدالرحمن عمیره، ج2، قم: منشورات الشریف الرضی

6- جرجانی، محمد( 1325ق)، شرح المواقف، عبدالرحمن الایجی، ج4، قم: منشورات الشریف الرضی

جوادی آملی، عبدالله( 1386ش)، رحیق مختوم، بخش سوم از جلد دوم ، قم: مرکز نشر اسراء، چاپ سوم

7- رازی، فخر الدین محمد بن عمر(1966م)، المباحث المشرقیه فی علم الالهیات و الطبیعات، ج1، تهران: مکتبه الأسدی

8- سبزواری، ملاهادی(1384ش)، شرح المنظومه، تعلیقه آیه الله حسن حسن زاده آملی، ج2، تهران: نشر ناب

9- صدر الدین شیرازی(ملاصدرا)، محمد بن ابراهیم(1410ق)، الحکمه المتعالیه فی الاسفار العقلیه الاربعه، ج2 و 4، بیروت: دار الحیاه التراث العربی

10- -------- ( 1360ش)، الشواهد الربوبیه، تعلیق و تصحیح سید جلال الدین آشتیانی، مشهد: مرکز نشر دانشگاهی

11- -------- (1382ش)، شرح و تعلیقه صدر المتالهین بر الهیات شفا, تصحیح و تحقیق  نجفقلی حبیبی، جلد اول، تهران: انتشارات بنیاد حکمت مسلمان صدرا، چاپ اول

12- طباطبائی، محمد حسین( 1424ق)، نهایه الحکمه، تحقیق عباس علی زارعی سبزواری، قم: موسسه نشر مسلمان، چاپ هجدهم

13- قرچغای خان، علیقلی( 1377)، احیای حکمت، تصحیح و تحقیق فاطمه فنا، تهران: احیاء کتاب، چاپ اول

14- مطهری، مرتضی( 1370ش)، درس­های الهیات شفا، جلد دوم، تهران: انتشارات حکمت، چاپ اول

15- میرداماد، محمد باقر( 1374ش)، القبسات، به اهتمام مهدی محقق، تهران: انتشارات دانشگاه تهران

16- T.Lin, Shwu-Yeng(1981), Set Theory with Applications, You-Feng Lin, second edition, Tampa, Florida: Mariner Publishing Company

17- Hersh, Reuben (1997), What Is Mathematics, Really?, Oxford: OxfordUniversity Press

18- Shapiro, Stewart(2000), Thinking about Mathematics, Oxford: OxfordUniversity Press