افلاطون در کتاب جمهوریت می­نویسد:

«مطالعة ریاضیات دستگاهی ذهنی را توسعه داده و به کار می­­اندازد که ارزش آن از هزار چشم برتر است»

دو هزار و پانصد سال طول کشید تا گوتلوب فرگه دریافت برای تدقیق مفاهیم و تحکیم مبانی ریاضیات نیز باید دستگاه بنیادی­تر دیگری را به نام «منطق ریاضی» تأسیس کرد. فرگه منطق ریاضی را میکروسکوپ ذهن می­دانست که از ورای آن می­توان بسیاری از دقایق و ظرایف را مشاهده کرد که با چشم و ذهن غیرمسلّح اساساً آن مسائل قابل رؤیت نیستند.

یکی از نظریه­های مهّم تاریخ منطق، که می­توان آن را در پرتو منطق جدید مطالعه نمود و مورد بازخوانی و احیاناً بازیابی قرار داد، نظریة «ضرورت بتاته» شیخ شهاب­الدین سهروردی است.

 خلاصة این نظریه بدین شرح است که جهات ضرورت، امکان و امتناع، اگر بیانگر صفات اشیا باشند (جهت متافیزیکی) در تصویر و انعکاس منطقی خود باید بخشی از محمول (عقد الحمل) تلقّی شوند و در آن صورت جهت نسبت و رابطة حملی که جهت اصلی قضیه است در کلیة حالات قابل تحویل به ضرورت است.

قبل از بحث دربارة نظریة مزبور مناسب­تر آن است که به مبانی منطقی- فلسفی و تاریخی آن نظری بیندازیم.  

جهت فلسفی(متافیزیکی)

جهات ضرورت، امکان و امتناع، وصف چه اموری می­توانند باشند؟ آیا وصف معرفت ما و در نتیجه اوصافی ذهنی­اند؟ و یا وصف حقایق عینی و واقعی­اند و یا توأمان می­توانند وصف امور ذهنی و واقعی باشند؟

سول کریپکی در کتاب نام­گذاری و ضرورت در این باره می­نویسد:

«گاهی مفهوم ضرورت به صورت معرفت­شناختی به کار می­رود و بنابراین می­تواند به معنای

پیشینی باشد و البته گاهی نیز به صورتی فیزیکی به کار می­رود، آن هنگام که مردم بین

ضرورت فیزیکی و منطقی فرق می­گذارند، اما آنچه من در اینجا  با آن سروکار دارم مفهومی

متافیزیکی است، نه معرفت شناختی» (کریپکی،1381: 40).

با توجه به عبارت فوق، جهت (در اینجا جهت ضرورت) را می­توان به دو نوع جهت فلسفی (مثلاً ضرورت متافیزیکی) و جهت معرفتی (مثلاًضرورتاحکام علمی)تقسیم نمود که جهت معرفتی خود به دو نوع جهت فیزیکی (مثلاً ضرورت فیزیکی) و جهت منطقی (مثلاً ضرورت منطقی) قابل تقسیم است. در جهت فلسفی و متافیزیکی، این اشیای عینی و خارجی هستند که متصف به جهت، مثلاً جهت ضرورت می­گردند، به این گونه از جهات اصطلاحاً «جهت شئ» (modality de re) می­گویند. در صورتی که جهت، وصف گزاره­های منطقی و یا گزاره­های فیزیکی باشد به «جهت گزاره» (modality de dicto) مشهور است.

در چارچوب منطق جدید دو مفهوم جهت شئ و جهت گزاره را می­توان به صورت دقیق­تری تعریف کرد.

فرمولf از زبان صوری منطق موجهات محمولی را دارای جهت گزاره می­نامیم اگر و تنها اگر در حوزه و دامنة جهت، هیچ متغیر آزادی وجود نداشته باشد، به عنوان مثال در فرمول­های زیر:

1: □ ("x)Ax              2: à($x)(Ax É Bx)   

3: □ ($x)Bx              4: à("x)(Ax É Bx)

در صورتی که در حوزه و دامنة یک جهت لااقل یک متغیر آزاد وجود داشته باشد، فرمول را دارای جهت شئ می­گویند، به عنوان مثال در فرمول­های زیر:

5: ("x) □Axy                 6: ($x)(Ax É àBxy)

7: ($x)( □ Ax É àBx)     8: ("x)à(Ax É Bx)

در صورتی که جهت ضرورت و امکان، وصف اشیاء عینی و خارجی باشد (جهت فلسفی و متافیزیکی)، تبیین آن در منطق جدید در قالب فرمولی انجام می­شود که اولاً: دامنة جهت یک فرمول اتمی باشد و ثانیاً: دارای لااقل یک متغیر آزاد باشد ( مثال­های شماره5 و6 و 7)

جهت محمول 

اگر به ساختار منطقی یک گزارة حملی (به عنوان مثال موجبة کلیه) توجه نماییم­، به وضوح می­توان دریافت که جهات منطقی (به عنوان مثال ضرورت) می­تواند در چهار موضع و جایگاه زیر واقع شود.

1- ضرورتاً هر الف ب است (جهت گزاره)

□ ("x)(Ax É Bx)

هر الف ضرورتاً ب است (جهت حمل)

 ("x) □ (Ax É Bx)

3- هر الف ضروری، ب است (جهت موضوع)

("x) (□Ax É Bx)

هر الف ب ضروری است (جهت محمول)

("x) (Ax É □Bx)

 در این مقاله عمده تمرکز ما بر روی جهت حمل و جهت محمول است.

ارسطو درکتاب ارغنون ومنطق­دانان ارسطویی در آثار متعدد خویش، هرچند اشاراتی به جهت گزاره دارند، همگی بر این نکته تأکید و تصریح کرده­اند که جهت اصلی و طبیعی همان جهت حمل یا جهت نسبت است.

ابن سینا در کتاب شفا می­نویسد:

«جهت حقیقی آن است که یا قرین رابطه و نسبت باشد، که در این صورت جهت به طور مطلق

 دلالت بر کیفیت ربط محمول بر شئ (موضوع) می­نماید، و یا اینکه قرین سور کلی یا جزئی قرار گیرد

وقتی می­گوییم هر انسانی ممکن است که کاتب باشد، جهت دارای موضع طبیعی است»  (ابن سینا،1935: 115)

خواجه نصیرالدین طوسی نیز در کتاب اساس الاقتباس بر تفاوت جهت حمل و جهت محمول تأکید نموده و می­نویسد:

درلغت تازی موضع جهت بطبع متقدم بود بر موضع رابطه، چه اگر متأخر باشد جهت جزوی

از محمول شود و قضیه در حقیقت مطلقه بود..... و در پارسی اگر گویی زید بامکان کاتب است

موجهه باشد و اگر گویی زید، کاتب بامکان است مطلقه باشد وجهت جزو محمول کرده باشی. (طوسی،1361: 130)

با وجود چنین تفسیر شایعی در منطق ارسطویی در باب جهت حمل و جهت نسبت، هم ارسطو و هم ارسطوئیان در مواضعی از این دیدگاه تخطّی نموده­اند. در زیر تنها به ذکر سه شاهد اکتفا می­شود:

الف: ارسطو در کتاب ارغنون به صراحت بیان می­کند که اگر در یک قیاس حملی، صغری مطلقه (عاری از جهت) و کبری ضروری باشد، نتیجة قیاس نیز ضروری است. وی در کتاب تحلیل اول می­نویسد:

«همچنین گاهی اتفاق می­افتد که وقتی یک مقدمه ضروری است، نتیجه نیز ضروری است نه در هر

حالتی که یکی از مقدمات ضروری است بلکه تنها آن هنگام که کبری ضروری است. به عنوان مثال اگر

الف به ضرورت حمل شود یا نشود بر ب اما ب به صورت ساده (بدون جهت) بر ج حمل گردد.
(Aristotle,1949: 9,30a,15-19)

اگر از سنت منطقی و دقیق ابن­سینا تبعیت کرده و صغری را قبل از کبری ذکر کنیم، دو مثال ارسطو را در عبارت فوق به صورت زیر می­توان بیان و در منطق موجهات جدید فرمول­بندی کرد:

1) هر ج ب است

("x)(Gx É Bx)

هر ب ضرورتاً الف است

("x) □ (Bx É Ax )

هر ج ضرورتاً الف است

\ ("x) □ (Gx É Ax)

\

2) هر ج ب است

("x)(Gx É Bx)

هیچ ب ضرورتاً الف نیست

\ ("x) □ (Bx É ~ Ax)  

\  هیچ ج ضرورتاً الف نیست

\ ("x) □ (Gx É ~ Ax)

با مختصری تأمل می­توان دریافت که هیچ کدام از دو استدلال مزبور معتبر نیستند. بنابر قاعدة مشهور تئوفراستس (شاگرد ارسطو) نتیجه باید تابع اخس مقدمتین باشد، اما در دو استدلال فوق می­بینیم مقدمة اول مطلقه و عاری از جهت است و مقدمة دوم ضروری است (ضرورت حمل و نسبت) ولی نتیجه از اخس یعنی مطلقه تبعیت نکرده است.

تنها توجیه منطقی که منطق­دانان جدید( رشر ، بکر و...) برای این دو استدلال ارسطو یافته­اند آن است که اگر ضرورت درمقدمة دوم (کبری) به صورت جهت محمول (و نه جهت حمل) تفسیر گردد هر دو استدلال فوق معتبر خواهند بود   (McCall,1963:18). به صورت زیر:

هر ج ب است

("x)(Gx É Bx)

هر ب ، به ضرورت الفاست

("x) (Bx É □ Ax)                                       

\ هر ج ، به ضرورت الفاست

\ ("x) (Gx É □ Ax)          

   هر ج ب است

 ("x)(Gx É Bx)  :                                          

هیچ ب ، به ضرورت الفنیست

("x) (Bx É ~ □Ax)                                        

\هیچ ج ، به ضرورت الفنیست                                

\ ("x) (Gx É ~ □ Ax)      

همان گونه که ملاحظه می­شود حصول یک تفسیر سازگار از منطق موجهات ارسطو (لااقل در قیاس شکل اول) منوط به پذیرش جهت محمول در ساختار یک گزارة حملی است، مطلبی که همواره در منطق ارسطویی انکار شده و مورد انتقاد قرار گرفته است.

ب: تمامیمنطق­دانانمسلمان پس از ابن­سینا بر این نکته تأکید نموده­اند که اگر جهت موضوع (عقدالوضع) ممکنه باشد (رأی فارابی در مقابل رأی ابن­سینا)، قضایای ممکنه نیز به ممکنه قابل انعکاس­اند ( رازی،1363: 132). حال اگر جهت اصلی قضیه را بر اساس رأی غالب ارسطوئیان جهت حمل بدانیم، دیدگاه مزبور را به صورت زیر (به عنوان مثال در عکس موجبة کلیة ممکنه) می­توان بیان و فرمولیزه کرد:

هر الف به امکان، امکاناً، ب است

("x)à(àAx É Bx), ($x)àAx

\ بعضی ب به امکان، امکاناً، الفاست      

\ ($x)à(àBx Ù Ax)

ذکر فرمول ($x)àAx   در مقدمات نشان­دهندة وجود پیش فرض وجودی در منطق ارسطویی است. معهذا استدلال مزبور معتبر نیست، اما اگر جهت اصلی قضیه به صورت جهت محمول (و نه جهت حمل) در نظر گرفته شود، استدلال معتبر زیر را به دست می­دهد:

هر الف به امکان ، به امکان ب است

 ("x) ( àAx É à Bx), ($x)àAx 

\بعضی ب به امکان ، به امکان الف است                                                  

 \ ($x) ( àBx Ù à Ax)                 

و این تأیید دیگری است براین نکته که ارائة یک قرائت سازگار از منطق موجهات ارسطویی و سینوی منوط به پذیرش جهت محمول در ساختار قضیة حملیه است.

ج: می­دانیم در چارچوب نظریة موجهات زمانی ابن­سینا از انضمام دو قید لادوام ذاتی و لاضرورت ذاتی به قضایای بسیط، قضایای موجهة مرکب ساخته می­شوند. حال به مثال زیر توجه می­کنیم:

A) هر الف به ضرورت ب است، مادامی که الف است، نه دائماً (مشروطة خاصه)

 به وضوح روشن است عبارت فوق هر چند معنایی را در عرف به ذهن القا می­کند، ساختار منطقی روشنی ندارد.

منطق­دانان مسلمان برای ارائة ساختار نحوی روشن­تر دو نکتة زیر را متذکر شده­اند:

اولاً: قید زمانیمادام­ا­­لوصف «مادامی که الف است» در عبارت فوق و قیود شبیه آن (مادام­الذات، مادام­الوقت)می­تواند به صورت کلمه­ای مثل «وصفی»، «ذاتی» و «وقتی» به جهت اضافه شود ( مثل ضرورت وصفی، ضرورت ذاتی، امکان ذاتی و .....). در این صورت عبارت (A) به صورت زیر بیان می­شود:   

«هر الف به ضرورت وصفی ب است، نه دائماً»      (طوسی،1361: 132- 143 ).

ثانیاً: قیود لادوام ذاتی (نه دائماً) و لاضرورت ذاتی (نه ضرورتاً) درتفسیر متعارف و معمول اشاره به قضیة دیگری دارد که با قضیة اول در کمیت وحدت و در کیفیت اختلاف دارد (متضاد یا داخل در تحت تضاد قضیة اول) (رازی، 1363: 102).

از آنجا که قید لادوام ذاتی خود معادل «اطلاق ذاتی» است، صورت نهایی عبارت (A) ازدیدگاه منطق­دانان مسلمانبه صورت زیر بیان می­شود:

₁A) هر الف، به ضرورت وصفی ب است و به اطلاق ذاتی ب نیست  (مشروطة خاصه)

که منطقاً معادل عبارت زیر است:

₂A) هر الف به ضرورت وصفی ب است و هیچ الف به اطلاق ذاتی ب نیست   (مشروطة خاصه)

تعریف و تفسیر مزبور از قضایای موجهة مرکب که بسیار شایع و رایج است اگرچه در مورد قضیة موجهة مرکب کلیه درست و خالی از اشکال است، اما در مورد قضایای مرکب جزئیه قطعاً نادرست است، چراکه قضیة زیر: 

₁B) بعضی الف، به ضرورت وصفی ب است و به اطلاق ذاتی ب نیست    (مشروطة خاصه)

 منطقاً به عبارت زیر قابل تحلیل نیست

₂B) بعضی الف  به ضرورت وصفی ب است و بعضی الف به اطلاق ذاتی ب نیست   (مشروطة خاصه)

دلیل این امر با مختصری تأمل آشکار می­شود. عبارت «بعضی الف» در گزارة اول با «بعضی الف» در گزارة دوم ضرورتاً وحدت مصداقی ندارند و می­توانند به دو فرد نامعین (فرد مردد، فردما) جدا و متمایز اشاره داشته باشند. نتیجه آنکه در تعریف قضیة موجهة مرکب، به صورت کلی نمی­توان حکم کرد که این قضایا به دو قضیة ایجابی و سلبی منحل می­شوند. این نکتة بسیار دقیق که مورد غفلت بسیاری از نویسندگان قرارگرفته، مورد توجه شارح فاضل و دانشمند کتاب

شمسیه یعنی قطب­الدین رازی قرار گرفته است، وی در این باره می­نویسد:

«مفهوم گزارة کلیة مرکب، عیناً همان مفهوم دو قضیة کلی است که یکی ایجابی

 و دیگری سلبی می­باشد  .... اما مفهوم گزارة جزئیة مرکب همان مفهوم دو گزارة

جزئی، یکی موجبه و دیگری سالبه نیست، چراکه موضوع (مجموعه مصادیق) در

گزارة موجبة کلیة مرکب، عیناً موضوع (مجموعه مصادیق) در گزارة سالبة کلیه است

اما موضوع در موجبة جزئیه ضروری نیست که موضوع (مجموعه مصادیق) سالبة

جزئیه باشد، چراکه تفاوت آنها ممکن و جایز است».   ( رازی،125:1363 )

حال اگر مجدداً به عبارت (₁B) توجه کنیم و ساختار منطقی آن را با نظری دقیق­تر مورد مطالعه قرار دهیم درمی­یابیم که دو جهت زمانی «ضرورت وصفی» و «اطلاق ذاتی» در واقع دو جهت موجود در عقدالحمل هستند، و صورت منطقی (₁B) در نهایت به صورت زیر درمی­آید:

₃B) بعضی الف ، ب به ضرورت وصفی است و ب به اطلاق ذاتی نیست  (مشروطة خاصه)

و در این صورت نقیض (₃B) به صورت زیر قابل بیان است:

هیچ الف، ب به امکان وصفی نیست یا ب به دوام ذاتی است

و این همان نکتة بسیار مهمی است که منطق­دانان بزرگی همچون نصیرالدین طوسی، سراج­الدین ارموی، نجم­الدین کاتبی قزوینی و قطب­الدین رازی مکرر بر آن تأکید نموده­اند. کاتبی در این باره می­نویسد:

«در قضایای مرکب اگر کلیه باشند نقیض آنها یکی از دو نقیض اجزاء است.  .....

 و اگر جزئیه باشند .... نقیض حقیقی آن است که بین دو نقیض اجزاء در هر فردفرد

تردید شود.یعنی هر فردفرد (موضوع) از یکی از دو نقیض خالی نیست.» (رازی،1363: 124)

و این سومین شاهدی است دال بر اینکه ارائة یک قرائت سازگار از نظریة موجهات زمانی در نزد منطق­دانان مسلمان 

منوط به در نظر گرفتن جهت محمول است.

نظریة ضرورت بتاته

«ضرورت بتاته» یا «ضرورت جزمی» عنوان نظریه­ای است از شیخ شهاب­الدین سهروردی که  از ابداعات و نوآوری­های مهم وی در تاریخ منطق محسوب می­شود و دارای نتایج منطقی _ فلسفی فراوانی است.

سهروردی برای ارائه و همچنین تثبیت این نظریه سه گام یا سه مرحلة اساسی زیر را به ترتیب مطرح می­نماید:

مرحلة اول: اهمیت جهت فلسفی

سهروردی با این مقدمة روش­شناختی بحث خود را آغاز می­کند که اشیای خارجی و عینی دارای اوصافی هستند که برخی از این اوصاف برای شئ ضروری (ذاتی) هستند، برخی دیگر از این اوصاف، صفات امکانی و برخی دیگر صفات امتناعی­اند و در علوم مختلف این صفات باید مورد کاوش و شناسایی قرار گیرند. به عنوان مثال ( مثال­ها همگی از سهروردی است) «حیوان بودن» برای انسان خارجی، یک صفت ضروری (ذاتی= غیر قابل انفکاک از شئ) است، «کتابت» برای وی یک صفت امکانی (قابل انفکاک از شئ) و «سنگ بودن» برای وی یک صفت امتناعی (غیر قابل اتصاف) است. وی درکتاب مشهور حکمت­الاشراق در این باره می­نویسد:

«ما هنگامی که در علوم مختلف در جستجوی امکان یا امتناع یک شئ برمی­آییم

این اوصاف جزء مطلوب و مقصود ما قرار می­گیرد» (سهروردی، 1355: 29)

سهروردی در عبارت فوق انگیزة اصلی خود را از طرح نظریة «ضرورت بتاته» آشکار می­سازد که همان جهت فلسفی و جهت عینی است یعنی جهتی که نه در ذهن بلکه جزئی از واقعیات خارجی است.

مرحلة دوم: بنیادی بودن جهت محمول

سهروردی در این مرحله این ایدة مهم را مطرح می­نماید که اگر کسی بخواهد این اوصاف ضروری، امکانی و امتناعی اشیای عینی را بیان و اظهار کند بازتاب و انعکاس ذهنی این واقعیت خارجی در کدام بخش از یک گزاره ظاهر می­گردد؟ به عبارت دیگر محمل این جهت فلسفی (عینی) کدام رکن گزاره می­باشد؟ موضوع، محمول یا نسبت، کدام؟

سهروردی به­درستی بیان می­کند که محمل این جهت عینی و فلسفی همان محمول است. وی در این باره می­نویسد:

«لما کان الممکن امکانه ضروریاً و الممتنع امتناعه ضروریاً و الواجب وجوبه ایضاً کذلک فاولی ان

تجعل الجهات من الوجوب و قسیمیه اجزاء للمحمولات»

«از آنجا که (شئ) ممکن امکانش، ممتنع امتناعش؛ و واجب وجوبش ضروری (ذاتی) است، شایسته

آن است که جهات وجوب، امکان و امتناع جزئی از محمول تلقی شود»(سهروردی، 1355 : 29)

مرحلة سوم : ضرورت بتاته

سهروردی در آخرین مرحلهبر این مطلب تأکید می­نماید که چون احکام علمی خود باید احکامی ضروری باشند، با فرض پذیرش جهت محمول (که خود محمل جهت عینی است) جهت تمامی قضایا ضروری خواهد بود. به عبارت دیگر «جهت تمامی قضایای صادقی که محمول آنها خود حاوی جهتی باشد، ضرورت است». وی در ادامة مطلب در این باره می­نویسد:

«فاولی ان تجعل الجهات من الوجوب و قسیمیه اجزاء للمحمولات حتی تصیر القضیه

علی جمیع الاحوال ضروریه کما تقول کل انسان بالضروره هو ممکن ان یکون کاتباً

او یجب ان یکون حیواناً او یمتنع ان یکون حجراً ، فهذه هی الضروره البتاته»

«پس شایسته آن است که جهات وجوب، امکان و امتناع جزئی از محمول تلقی شود،

تا قضیه در کلیة حالات ضروری گردد همان گونه که می­گوییم هر انسانی بضرورت

ممکن است که کاتب باشد یا واجب است که حیوان باشد یا ممتنع است که سنگ

باشد و این همان ضرورت بتاته است»    ( همان: 29)

با تأملی دقیق در عبارات فوق درمی­یابیم که نظریة ضرورت بتاته معادلات منطقی زیر را برقرار می­داند:

(1) هر الف ب به امکان است = هرالف ضرورتاً ب به امکان است

هر الف کاتب به امکان است = هر الف ضرورتاً کاتب به امکان است (مثال)

(2) هر الف ب به ضرورت است = هرالف ضرورتاً ب به ضرورت است

هر الف حیوان بضرورت است = هر الف ضرورتاً حیوان بضرورت است (مثال)

(3) هر الف ب به امتناع است = هرالف ضرورتاً ب به امتناع است

هر الف سنگ بامتناع است = هر الف ضرورتاً سنگ بامتناع است (مثال)

نظریة «ضرورت بتاته» در پرتو منطق موجهات جدید

سؤال اساسی و مهم در اینجا این است که آیا می­توان در پرتو کشفیات و ابداعات منطق موجهات جدید توصیف و تبیینی از نظریة مزبور به دست داد، به عبارت دقیق­تر معادلات سه گانة فوق­الذکر در کدام نظام از نظام­های متعدد و متکثر منطق موجهات محمولی( predicate modal logic) برقرارند؟

مؤلف پیش از این در دو مقالة «نظریة ضرورت بتاتة سهروردی و سیستم QS5  کریپکی، 1380»  و

«مدل تعادلی- تجانسی جهان­های ممکن و نظریة ضرورت بتاته،1387» به تفصیل در باب ساختار نحوی و ساختار معنایی ضرورت بتاته سخن گفته است لذا در اینجا تنها به ذکر اجمالی از بحث اکتفا نموده و درعین حال به نکاتی ناگفته در مقالات پیشین اشاره می­کند.

با فرمول­بندی معادلات سه گانة مزبور در چارچوب منطق موجهات، به صورت زیر بهتر می­توان به سؤال مزبور پاسخ داد:

(A): ("x) (Ax É àBx) ≡  ("x) □ (Ax É àBx)  

(B): ("x) (Ax É □ Bx) ≡  ("x) □ (Ax É □ Bx)

 (C): ("x) (Ax É ~ àBx) ≡  ("x) □ (Ax É ~ àBx)

معادلات مزبور در کدام نظام موجهات محمولی برقرارند؟ می­توان به وضوح دریافت که نظام QTriveبه دلیل دارا بودن اصل موضوعP P ≡ □  (البته در مدل متجانس) تمامی معادلات مزبور را نتیجه می­دهد اما می­دانیم نظام مزبور یک نظام فروکاهشی است که تمامی جهات را حذف می­نماید و پرواضح است که چنین نظامی نمی­تواند اهداف نظریة ضرورت بتاته را که تأکید ویژه بر جهت ضرورت دارد تأمین و تضمین نماید. به نظر مؤلف حل مشکل را باید درجهت عقدالوضع جستجو کرد،یعنی همان مطلبی که از دیرباز مورد توجه و بحث منطق­دانان مسلمان بوده است. مجموعاً دو دیدگاه در این زمینه وجود دارد. دیدگاه فارابی بر آن است که جهت موضوع یا عقدالوضع جهت امکان است اما ابن­سینا در مقابل برجهت فعلیت تأکید و تصریح دارد ( رازی،1363: 132). می­دانیم  فعلیت و نقیض آن یعنی دوام هر دو عملگرهای زمانی هستند و در کنار امکان و نقیض آن یعنی ضرورت، نظریة موجهات زمانی ابن­سینا را به عنوان یک نظام تلفیقی و ترکیبی طراحی و سازماندهی می­کنند. به وضوح روشن است در شرایطی که بحث اساساً دائر مدار موجهات محض است فعلیه یا غیر فعلیه بودن عقدالوضع تخصصاً از موضوع بحث خارج است و بنابراین جهت عقدالوضع در جهت امکان (نظر فارابی) منحصر می­گردد. حال اگر جهت امکانی عقدالوضع را نیز در معادلات سه گانة مورد بحث وارد نماییم خواهیم داشت:

(A)  : ("x) (àAx É àBx)  ≡  ("x) □ (àAx É àBx)  

(B)  : ("x) (àAx É □ Bx)  ≡  ("x) □ (àAx É □ Bx)

 (C)  : ("x) (àAx É ~ àBx) ≡  ("x) □ (àAx É ~ àBx)

اولاً: به لحاظ نحوی اثبات می­شود و ثانیاً به لحاظ معنایی نشان داده می­شود که معادلة دوم (ضرورت بتاتة مربوط به ضرورت) و معادلة سوم (ضرورت بتاتة مربوط به جهت امتناع) هر دو در نظام  QS4(یعنی در مدل متعدی، انعکاسی و تجانسی جهان­هایممکن) برقرارند. در این مقاله تنها با تمرکز بر روی معادلة اول ( ضرورت بتاتة مربوط به جهت امکان) یعنی مهم­ترین معادله از معادلات مزبور، به بحث و بررسی نحوی و معنایی بحث­انگیزترین بخش آن یعنی صورت زیر می­پردازیم:

 (A₁)  : ("x) (àAx É àBx) É  ("x) □ (àAx É àBx)

با برهان زیر(به شیوة استنتاج طبیعی) می­توان اثبات کرد که فرمول مزبور قضیه­ای از نظام QK45 است:

                    1 ("x) (àAx É àBx)                                                   AP                        

                    2   àAx É àBx                                                           "E,1                 

                    3  ~ àAx Ú àBx                                                         Impl,2 

                    4   ~ àAx                                                                   AP    

                    5   □ ~ Ax                                                                  M.N,4

                 □   

                    6   □ ~ Ax                                                                  4-N.Rei,5   

                    7   □ ~ Ax Ú àBx                                                       ÚI,6  

                    8   ~ àAx Ú àBx                                                         M.N,7  

                    9    àAx É àBx                                                           Impl,8  

                   10  □ (àAx É àBx)                                                       K-N.I

                   11   àBx                                                                      AP                 

                     □ 

                   12   àBx                                                                      5-N.Rei,11      

                   13   ~ àAx Ú àBx                                                       ÚI,12                      

                   14   àAx É àBx                                                          Impl,13                  

                   15   □ (àAx É àBx)                                                     K-N.I,14 

                   16   □ (àAx É àBx)                                                    ÚE,3,4-10,11-15

                   17   ("x) □ (àAx É àBx)                                           "I,16

                   18    ("x) (àAx É àBx) É  ("x) □ (àAx É àBx)        ÉI,1-17 

علائم اختصاری برهان مزبور و معادل آنها به ترتیب عبارتند از:

 AP = Asumption Proposition                           K-N.I= K- Necessity Introduction

 "E =  Universal Elimination                           5-N.Rei=5- Necessity Reiteration

 Impl = Implication                                           ÚE = Disjunction Elimination

 M.N =  Modality Negation                                "I= Universal  Introduction

 4-N.Rei = 4- Necessity Reiteration                  ÉI = Conditional  Introduction

 ÚI =  Disjunction Introduction

 ترجمة اصطلاحات مزبور نیز به ترتیب عبارتند از: مقدمة مفروض، حذف کلی، استلزام، نقض جهت، تکرار ضرورت 4،

معرفی فصل، معرفی ضرورت K ، تکرار ضرورت 5، حذف فصل، معرفی سور کلی و معرفی شرط.

در برهان مزبور از آنجا که در سطر12 و 6   به ترتیب از دو قاعدة 5-N.Rei و 4-N.Rei استفاده شده است، فرمول(A₁)  قضیه­ای از نظام  QK45 محسوب می­شود.

علاوه بر «اقامة برهان» مزبور «ارائة دلیل» متناظر آن را نیز با ترسیم نمودار معنایی فرمول(A₁)   در مدل متعدی، اقلیدسی  و تجانسی به صورت زیر می­توان دنبال کرد:

در توضیح مختصر نمودار معنایی مزبور باید گفت با پایه قرار دادن مدل توسیعی جهان­های ممکن (expanding domain) یا مدل تجانسی، اگر جهان ممکن wi به جهان  wjدسترسی داشته باشد اشیاء جهان  wiزیرمجموعه­ای از جهان  wjخواهد بود(Di Í Dj) .

   می­خواهیم نشان دهیم که فرمول (A₁)  در مدلی متعدی _ اقلیدسی معتبر است. اگر چنین نباشد، باید جهانی همچون wi وجود داشته باشدکه به ازای هر شیئی جهان wi « به اختصار"oi » که به x اسناد داده می­شود،  àAx É àBx صادق بوده و به ازای لااقل یک شیء جهان wi « به اختصار$oi » که به x اسناد داده می­شود،   □ (àAx É àBx)   کاذب باشد، یعنی  à~ (àAx É àBx) صادق باشد. صدق فرمول اخیر منوط به وجود جهانی در دسترس مثل  wj  است (نه ضرورتاً متمایز) که درآن àAx   و ~ àBx (یعنی□ ~ Bx ) به ازای$oi هر دو در آن صادق باشند، صدق àAx  در این جهان نیز منوط به وجود جهان در دسترس  wk  است  که در آن Ax و در نتیجه  ~ Bx به ازای$oi   در آن صادق باشد. از طرف دیگر صدق  àAx É àBx  در جهان wiدر سه حالت  میسر است در صورت کذب مقدم àAx ، اعم از صدق یا کذب تالی آن ، □ ~Ax  صادق می­گردد و از آنجا که مدل متعدی است،   wi  به wk دسترسی داشته و ~Ax به ازای "oi در جهان wk صادق می­باشد و با توجه به شرط تجانس جهان­های ممکن و ویژگی تعدی رابطهDi Í Dk   برقرار بوده و مدل به تناقض می­انجامد .

 در صورتی که صدق  àAx É àBx  در جهان wiبا صدق مقدم و تالی آن باشد، باید جهانی در دسترس همچونwl وجود داشته باشدکه Bx  در آن به ازای "oiصادق باشد. از آن جا که مدل مورد بحث اقلیدسی نیز هست با دسترسی  wi  به دو جهان wj و  wl  جهان wj  و wl  به همدیگر دسترسی می­یابند  و چون □ ~ Bx در جهان wj صادق است ، ~ Bx نیز در wl به ازای$oi صادق خواهد بود و با توجه به ویژگی تجانس و داشتن رابطهDi Í Dl    در جهان wl  دوباره مدل به تناقض می­انجامد. . پس فرمول (A₁)  در مدل متعدی ، اقلیدسی  و تجانسی معتبر است.

نتیجه­

از یک نظرگاه کلی صورت­های شش­گانة موجود در «معادلات ضرورت بتاته» را به صورت زیر می­توان در نظام­های متعدد منطق موجهات محمولی تو جیه و تبیین نمود:

(A₁)  : ("x) (àAx É àBx) É  ("x) □ (àAx É àBx)                             (QK45) 

(A₂)  : ("x) □ (àAx É àBx) É  ("x) (àAx É àBx)                             (QKT)

 (B₁) : ("x) (àAx É □ Bx) É  ("x) □ (àAx É □ Bx)                            (QS4)    

 (B₂) : ("x) □ (àAx É □ Bx) É  ("x) (àAx É □ Bx)                            (QKT)

(C₁)  : ("x) (àAx É ~ àBx) É  ("x) □ (àAx É ~ àBx                          (QS4)   

(C₂)  : ("x) □ (àAx É ~ àBx) É  ("x) (àAx É ~ àBx                          (QKT (