۱-مقدمه

دربارۀ مناقشۀ میان تصویر نیوتنی از فضازمان^[1] و تصویر لایب‌‎نیتزی از آن تا کنون بسیار بحث شده است. بخشی بزرگ از ادبیات فلسفۀ فضازمان به این مناقشه اختصاص یافته است که فضازمان همچون ظرفی است که مادۀ عالم در آن ریخته شده است یا چیزی نیست جز نسبت فضایی‌زمانیِ میان اجزای مادۀ موجود در عالم. قدمت این مناقشه به دیرزمانی پیش از ارائۀ نسبیت عام بازمی‌گردد^[2]؛ اما نسخه‌هایی دائماً به‌روزشونده‌ از آن ارائه شده‏اند^[3]؛ اما این دو تصویر تنها دوگانۀ مناقشه‌برانگیز در رابطه با فهم ما از فضازمان نیستند. دو تصویر متافیزیکی رقیب دیگر از فضازمان را می‌توان ارائه کرد که می‏توانند به اندازۀ مناقشۀ میان تصویر نیوتنی و تصویر لایب‌نیتزی پراهمیت باشند. این دو تصویر متافیزیکی رقیب را که موضوع نوشتار حاضر هستند، «تصویر نیوتنی» و «تصویر لاگرانژی» می‌نامیم.

در «تصویر نیوتنی»، فضازمان عبارت است از تحول زمانی فضا؛ البته این به معنای آن نیست که تصویر نیوتنی به فضا و زمان مستقل از هم پایبند است و با روح نظریۀ نسبیت در تعارض قرار می‌گیرد. طبق این تصویر، اگرچه فضا به نحو مستقل از زمان و زمان به نحو مستقل از فضا وجود ندارد، هویت متحد فضازمان را می‌توان به صورت تحول زمانی رویه‌ای فضایی در نظر گرفت^[4]. در «تصویر لاگرانژی»، فضازمان کلی یکپارچه است که تمام آن به صورت یکجا بررسی می‌شود و تحول (زمانی) جزئی از آن، مگر به صورت موضعی^[5] معنادار نیست. دو صورت‌بندی معروف نسبیت عام، یعنی صورت‌بندی هامیلتونی و صورت‌بندی لاگرانژی، به‏ترتیب از تصویر نیوتنی و تصویر لاگرانژی بهره می‌برند. اگرچه تصویر نیوتنی تصویر متافیزیکی غالب بوده است، آشنایی ما با این دو تصویر رقیب در انتقادات لی اسمولین^[6]، فیزیکدان برجسته و یکی از بنیان‌گذاران گرانش کوانتومی حلقه‌ای، به کیهان‌شناسی مدرن ریشه دارد.

در این نوشتار، ابتدا مروری خواهیم داشت بر انتقادات اسمولین که به معرفی طرح‌وارۀ^[7] نیوتنی و رقیب آن انجامید؛ یعنی طرح‌وارۀ لاگرانژی که توسط کِن وارتون^[8]، فیزیکدان کوانتومی، معرفی شد (بخش 2). استدلال خواهیم کرد که این دو طرح‌وارۀ رقیب زمانی که در رابطه با فضازمان به کار گرفته شوند، به دو تصویر رقیب مورد بحث ما از فضازمان، یعنی تصویر نیوتنی و تصویر لاگرانژی، خواهند انجامید. سپس، استدلال می‌کنیم (1) تصویر لاگرانژی بیش از تصویر نیوتنی با روح و فلسفۀ کلی نظریۀ نسبیت سازگار است و (2) تصویر لاگرانژی جهان‏شمول است و در رابطه با هر فضازمانی کاربرد دارد؛ در حالی که تصویر نیوتنی فقط در رابطه با فضازمان‌هایی ویژه به کار می‏رود (بخش 3). در نهایت، نتیجه می‌گیریم تصویر لاگرانژی نسبت به تصویر نیوتنی تصویر متافیزیکی پذیرفتنی‌تری است و تصویر نیوتنی فقط برای مقاصد عملی و محاسباتی قابل قبول است (بخش 4).

۲- طرح‌وارۀ نیوتنی در برابر طرح‌وارۀ لاگرانژی

اسمولین ضمن انتقاد به کیهان‌شناسی جدید، به بروز بحرانی در فیزیک اشاره کرده است:

بحران به دلیل ناتوانی ما در پیش‌روی بیشتر [نسبت به مدل استاندارد ذرات بنیادی و مدل استاندارد کیهان‌شناسی و] ارائۀ تصویری یکپارچه از فیزیک یا تبیین عناصر این مدل‌ها است. این مدل‌ها جهانی را به تصویر می‌کشند که از نظر عقلانی یا زیبایی‌شناختی غیرطبیعی است و هر کدام مشتمل بر فهرستی بلند از پارامترهایی هستند که باید به طرزی بسیار ظریف تنظیم‌ شده باشند تا با آزمایش‌ها هم‌خوانی داشته باشند. پیشنهادهایی زیاد برای توضیح مقادیر این پارامترها ارائه شده‏اند که هیچ کدام توفیق نیافته‏اند (Unger & Smolin, 2015, p. 354).

او یادآور می‌شود:

اگر توجه خود را فقط به داده‌ها معطوف کنیم، بحرانی در کار نیست. ... به کمک نسبیت عام استاندارد و نظریۀ میدان‌های کوانتومی می‌توانیم مشاهدات را مدل‌سازی کنیم. ... بحران زمانی خود را نشان می‌دهد که تلاش می‌کنیم فراتر از مدل‌سازی برویم و داده‌ها را تبیین کنیم. ... زمانی با بحران روبه‌رو می‌شویم که جاه‌طلبی خود را ارتقاء می‌دهیم و تلاش می‌کنیم تا از توصیف جهانی که مشاهده می‌کنیم به نظریه‌ای دربارۀ کل جهان دست یابیم (Unger & Smolin, 2015, p. 360، تأکید از ما است).

برای غلبه بر این بحران، اسمولین تلاش کرده است تا در مفاهیم «تبیین علمی» و «قانون طبیعی» بازنگری کند (نک. Unger & Smolin, 2015 و Smolin, 2009; 2015).^[9] نقطۀ شروع او این پرسش است: چه میزان از فهم ما از قوانین طبیعی از یافته‌های ما در آزمایشگاه به ‌دست آمده است؟ ما در آزمایشگاه، بنا به تعریف، کل جهان را بررسی نمی‏کنیم، بلکه زیرسامانه‌ای کوچک، به ‌لحاظ زمانی و مکانی، را بررسی می‌کنیم که با صرف‌نظر کردن از ابزارهایی که برای اندازه‌گیری به‌ کار می‌بریم و مداخلاتی که حین اندازه‌گیری در آن انجام می‌دهیم، تا حدی مناسب می‌توان آن را سامانه‌ای منزوی قلمداد کرد. سپس، برای آنکه «قانون طبیعی» را بیابیم، فرض می‌کنیم می‌توان آن سامانه را بارها و بارها، در زمان‌های دیگر و در مکان‌های دیگر، بر پا و آزمایش را تکرار کرد؛ در حالی که اجزای آن ثابت ولی پیکربندی آن اجزاء هر بار متفاوت باشد. الگویی که در همۀ این وضعیت‌ها برقرار بماند را «قانون طبیعی» می‌نامیم و تفاوت‌‌ها را به تفاوت در «شرایط اولیه» نسبت می‌دهیم. این نوع از بررسی است که امکان تمایزگذاری قاطع میان «قانون طبیعی» و «شرایط اولیه» را فراهم می‌آورد. این تمایز به یکی از عمومی‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم فیزیکی می‌انجامد؛ یعنی مفهوم «فضای حالت»^[10]. فضای حالت فضای همۀ حالت‌ها یا وضعیت‌های ممکن سامانه است. ما فرض می‌کنیم این فضا به‌نحوی «پیشینی»^[11] و «بیرون از زمان» موجود است و می‌توان آن را به ‌نحوی مستقل از قوانین حرکت صورت‌بندی کرد.

از این منظر، قوانین حرکت تحول سامانه را از نقطه‌ای در این فضا، موسوم به شرایط اولیه، به نقاط دیگر متعین می‌کنند. اسمولین این رویکرد به تبیین علمی را «طرح‌وارۀ نیوتنی» (نک. Smolin, 2009) یا «پارادایم نیوتنی» (نک. Smolin, 2015 و Unger & Smolin, 2015) می‌نامد. اساس این طرح‌واره مبتنی است بر:

1. مشخص‌ کردن زیرسامانه‌ای از جهان و منزوی فرض کردن آن تا حدی که می‌توان از بده‌بستان آن با محیط پیرامونش صرف‌نظر کرد؛
2. مشخص‌ کردن فضای حالت‌های ممکن آن سامانه؛ و
3. مشخص ‌کردن نحوۀ تحول سامانه در زمان.

این سه گام در کنار یکدیگر «روش‌شناسی استاندارد فیزیک» (Unger & Smolin 2015, p. 373) را شکل می‌دهند. گام نخست مستلزم آن است که مشاهده‌گر به همراه ساعتی که زمان را اندازه‌گیری می‌کند در بیرون از سامانه واقع شوند. این مشاهده‌گر ممکن است آزمایش‌گری باشد که به‌واسطۀ ابزارهای اندازه‌گیری بر سامانۀ تحت بررسی‌اش تأثیر می‌گذارد؛ اما این تأثیرگذاری یا قابل چشم‌پوشی است یا اثر آن در معادلۀ تحول سامانه در زمان غایب است، مانند وضعیتی که دربارۀ نظریات رُمبشی^[12] در رابطه با سامانه‌های کوانتومی با آن روبه‌رو هستیم. گام دوم را صورت‌بندی سینماتیک نظریه و گام سوم را صورت‌بندی دینامیک نظریه می‌نامند. ساختارهایی که برای صورت‌بندی سینماتیک و دینامیک به‌ کار گرفته می‌شوند، به‏ترتیب، عبارت‏اند از: (الف) فضای پیکربندی^[13] یا فضای فاز^[14] در مکانیک نیوتنی و فضای هیلبرت در مکانیک کوانتومی و (ب) برگ‌بندی^[15] از فضاهای بالا به ‌نحوی که خانواده‌ای از مسیرهایی در فضا ایجاد بشوند که از هر نقطه از فضا فقط و فقط یک مسیر عبور کند.

همچنین، گام نخست نشانۀ آن است که نتایج طرح‌وارۀ نیوتنی تقریبی هستند. این طرح‌واره برای سامانه‌های منزوی به‌ کار گرفته می‌شود؛ اما هیچ سامانۀ واقعی‌ منزوی نیست. هر سامانۀ واقعی با سایر سامانه‌ها در برهم‌کنش است. «در [بهترین] حالت، به‌ لحاظ فیزیکی غیرممکن است بتوانیم از تأثیرپذیری امواج گرانشی‌ که از بیرون سامانه می‌آیند، جلوگیری کنیم» (Smolin, 2015, p. 18). زمانی که سامانه‌ای را منزوی در نظر می‌گیریم، از برهم‌کنش‌ها چشم‌پوشی کرده‌ایم؛ بنابراین، طرح‌وارۀ نیوتنی تصویری کاملاً دقیق را از جهان ارائه نمی‌کند، هرچند تقریبی موفق ارائه کرده است^[16].

اسمولین این طرح‌واره را «نیوتنی» نامیده است؛ زیرا، دست‌کم از زمان نیوتن، دستورالعمل سه‏مرحله‌ای بالا برای مدل‌سازی ریاضی و حل مسائل فیزیک به طور گسترده‌ به ‌کار گرفته شده است^[17]. همچنین، باید توجه داشت طرح‌وارۀ نیوتنی، برخلاف نامش، به درون مرزهای مکانیک نیوتنی محدود نمی‌شود، بلکه گسترۀ به‌کارگیری آن مکانیک کلاسیک، مکانیک کوانتومی، نسبیت عام، نظریۀ میدان‌های کوانتومی، گرانش کوانتومی و برخی از مدل‌های محاسباتی را نیز درمی‌نوردد (نک. Unger & Smolin, 2015, p. 359 Smolin, 2015, p. 15; و نیز Wharton, 2015)^[18].

طرح‌وارۀ نیوتنی با مشکلاتی روبه‌رو است^[19]. از منظر اسمولین، این طرح‌واره از پاسخ‌گویی به سه پرسش کیهان‌شناختی مهم عاجز است^[20]:

1. چرا این قوانین دینامیکی ویژه و نه قوانینی دیگر بر جهان حکم‌فرما هستند؟
2. چرا جهان با این شرایط اولیۀ ویژه و نه شرایطی دیگر آغاز شده است؟^[21]
3. چرا جهان، پس از گذشت حدود 14 بیلیون سال، هنوز به تعادل ترمودینامیکی نرسیده است؟

قوانین دینامیکی و شرایط اولیه (و فضای حالت‌ها) «ورودی»‌های طرح‌وارۀ نیوتنی هستند و نه «خروجی‌»های آن؛ بنابراین، می‌توان گفت دل‏بخواهی بودن انتخاب آن‌ها نشانۀ آن است که این طرح‌واره نسبت به دو پرسش نخست ساکت است. پرسش سوم ممکن است حالتی ویژه از پرسش دوم قلمداد شود؛ پاسخ این پرسش در چارچوب طرح‌وارۀ نیوتنی ممکن است این باشد که کیهان با شرایطی مرزی‌ آغاز شده است که بر مبنای آن آنتروپی اولیۀ کیهان آنچنان کم بوده است که پس از گذشت حدود 14 بیلیون سال نیز افزایش آن، طبق قانون دوم ترمودینامیک، هنوز نتوانسته است به رسیدن به بیشینۀ آنتروپی در وضعیت تعادل ترمودینامیکی بینجامد^[22]؛ بنابراین، پرسش اکنون این است که: چرا جهان با چنین آنتروپی‌ ناچیزی آغاز شده است؟ یا به بیانی دیگر، چرا جهان با وضعیتی تا به این حد نامحتمل آغاز شده است؟ اسمولین این سه پرسش را اساسی‌ترین چالش‌های پیش‌روی کیهان‌شناسی کنونی می‌داند که ریشۀ آن‌ها در کاربست نادرست طرح‌وارۀ نیوتنی است.

جایگزین طرح‌وارۀ نیوتنی چه چیزی می‌تواند باشد؟ اسمولین پیشنهادی ویژه را مطرح نکرده است. او فقط اشاره می‌کند که پاسخی کامل برای این پرسش در دست نیست که «فیزیک بدون تمایز قاطع میان قانون و شرایط اولیه چگونه خواهد بود؟»؛ اما اسمولین به مطلبی دیگر نیز اشاره کرده است که می‌تواند راهی را برای غلبه بر بحران فیزیک و کیهان‌شناسی مدرن بگشاید: او یادآور شده است در ورای «بحران» مورد بحث ما، بحرانی گسترده‌تر قرار دارد؛ بحرانی پیش ‌روی فلسفۀ مکانیکی یا نسخۀ تناسخ یافتۀ آن، فلسفۀ محاسباتی^[23].

این ایدۀ سرمست‌کننده که هر چیزی که وجود دارد طبیعی و فیزیکی است اکنون بیش از هر زمان دیگری پذیرفتنی به ‌نظر می‌رسد؛ بخشی به دلیل پیشرفت‌های فیزیک و فناوری‌های دیجیتال، اما بیشتر به‌ خاطر راه‌بردهای فروکاست‌گرایانه در زیست‌شناسی و پزشکی؛ اما این ایده بابت پذیرش این استعارۀ قدیمی که طبق آن جهان یک ماشین است، هنوز در بحران است. در تجدید حیات جدیدش، فلسفۀ مکانیکی در قالب فلسفۀ محاسباتی ظاهر شده است که طبق آن هر چیزی، از جمله خود ما، رایانه‌ای دیجیتال است که از روی الگوریتمی ثابت به پیش می‌رود، یا با چنین رایانه‌ای یک‌ریخت^[24] است (Unger & Smolin, 2015, p. 356).

از منظر اسمولین، ریشۀ بحران کنونی علم آن است که روش علمی مرسوم خود را به این آموزه پایبند کرده است که «جهان نوعی ماشین است»، یا معادل آن «جهان نوعی رایانه است»^[25]. این آموزه دقیقاً همان چیزی است که وارتون، فیزیک‏دان برجستۀ کوانتومی، آن را نقد کرده است. به عقیدۀ او، طرح‌وارۀ نیوتنی جهان را همچون سازوکاری محاسباتی می‌پندارد که وضعیت‌های اولیه را به ‌عنوان ورودی دریافت می‌کند و وضعیت‌های آتی را به‌ عنوان خروجی یا محصول آن سازوکار محاسباتی تولید می‌کند.

چطور ممکن است نگرشی تا این اندازه فراگیر نادرست باشد؟ وارتون نکته‌ای را یادآور شده است که هم روشن می‌کند اشکال طرح‌وارۀ نیوتنی کجا است و هم روشن می‌کند چرا این آموزه تا این حد فراگیر است و بر ذهن بیشتر فیزیک‌دانان و فلاسفه مستولی است. او معتقد است طرح‌وارۀ نیوتنی انسان‌محورانه^[26] است؛ به این معنا که جهان فیزیکی را همان‏طوری تصور می‌کند که ما انسان‌ها پرسش‌های فیزیک را پاسخ می‌دهیم.

اگر نقادانه بنگریم، فرضیۀ «جهان طرح‌وارۀ نیوتنی» دقیقاً همان نوعی از استدلال انسان‌محورانه است که فیزیک‌دانان از آن روی‏گردان هستند. این فرضیه در اساس این است که روشی که ما انسان‌ها مسائل فیزیک را حل می‌کنیم، باید همان طریقی باشد که جهان طبق آن عمل می‌کند (Wharton, 2015, p. 178).

از منظری انسان‌محورانه، انسان‌ها در مرکز جهان قرار دارند. انسان‌محوری خوانشی معرفت‌شناختی دارد که طبق آن توصیف و تبیین‌های ما از پدیده‌های طبیعی به ‌نحوی است که گویا ما انسان‌ها در مرکز جهان قرار گرفته‌ایم؛ اما نوعی از انسان‌محوری که وارتون با آن مخالف است، خوانش هستی‌شناختی از آن است؛ خوانشی که بر مبنای آن جهان همان‌طوری است که ما انسان‌ها به اندیشیدن دربارۀ آن بدان شیوه خو گرفته‌ایم. طبق این نوع از انسان‌محوری، جهان همان‌گونه است که تجربیات دست‌اول ما به ما می‌گویند. این همان نوع خطایی است که به نظریۀ زمین مرکزی انجامید که بیش از دو هزار سال نظریۀ غالب در رابطه با ساختار منظومۀ شمسی بود. اکنون همین خطا خود را در قالبی دیگر آشکار کرده است: طرح‌وارۀ نیوتنی جهان را به ‌مثابۀ رایانه‌ای‌ در نظر می‌گیرد که ورودی‌هایی را دریافت می‌کند و سپس، قوانین حاکم بر آن خروجی‌هایی را تولید می‌کنند؛ زیرا، دست‌کم از زمان نیوتن، ما انسان‌ها مسائل فیزیک را در قالب معادلات دیفرانسیلی برحسب زمان صورت‌بندی و حل کرده‌ایم.

اگرچه طرح‌وارۀ نیوتنی با تجربیات روزمرۀ ما موافق و با شهود و فهم متعارفی ما هم‌خوان است، این دلیل نمی‌شود که چارچوب متافیزیکی مناسبی برای نظریه‌های فیزیکی باشد. به ویژه باید توجه کرد شناخت سطح بنیادی واقعیت وظیفه‌ای است که بر دوش نظریه‌های فیزیکی گذاشته شده است و نه فهم متعارف^[27].

اما اگر طرح‌وارۀ نیوتنی را کنار بگذاریم، چه چیزی برای ما باقی می‌ماند؟ پیشنهاد وارتون این است که «طرح‌وارۀ لاگرانژی» را جایگزین طرح‌وارۀ نیوتنی کنیم. این طرح‌وارۀ جدید از دستورالعمل سه‏مرحله‌ای طرح‌وارۀ نیوتنی پیروی نمی‌کند؛ در عوض، طبق طرح‌وارۀ لاگرانژی، معادلات حرکت از کمینه‌سازی کُنش به ‌دست می‌آیند که انتگرال زمانی اسکالری موسوم به لاگرانژی است. مبنای این طرح‌واره صورت‌بندی لاگرانژی از مکانیک کلاسیک است (نک. Thornton & Marion, 2004). ممکن است اعتراض شود صورت‌بندی‌های متفاوت صرفاً نقطه‌نظرهایی متفاوت هستند که به یک نظریۀ واحد می‌انجامند و به لحاظ فیزیک یا متافیزیکی که توصیف‌کنندۀ آن است معادل هستند. عمدتاً، کتب درسی فیزیک مروج چنین ادعایی هستند^[28]؛ اما این ادعا لزوماً درست نیست. صورت‌بندی‌های مختلف ممکن است مستلزم ساختارهای ریاضی متفاوت یا چارچوب‌های فیزیکی یا متافیزیکی متفاوتی از طبیعت باشند.

برای روشن شدن این مطلب، اجازه دهید صورت‌بندی‌های مختلف مکانیک کلاسیک را در نظر بگیریم. در مکانیک کلاسیک، دیدگاه رایج این است که صورت‌بندی‌های نیوتنی، لاگرانژی و هامیلتونی دوبه‌دو با یکدیگر معادل هستند؛ زیرا معادلات دینامیکی آن‌ها را می‌توان از یکدیگر استخراج کرد؛ اما وارتون یادآور شده است این استدلال «تا حدی دوری» است؛ زیرا معادلات دینامیکی تنها جزء اصلی نظریه نیستند.

استدلال متداول [در دفاع از هم‌ارزی ادعاشده] استفاده کردن از اصل فرما [یعنی قانون لاگرانژی‌گونۀ مربوط] برای استخراج قانون شکست اسنل، یعنی قانون نیوتنی‌گونۀ مربوط، است. می‌توان نشان داد در حالت کلی، کمینه‌سازی کنش همواره به چنین قوانین دینامیکی‌ می‌انجامد (در این بافتار، قوانین گفته‏شده را با عنوان معادلات اویلر - لاگرانژ می‌شناسند)؛ اما قانون دینامیکی همه چیزِ طرح‌وارۀ نیوتنی نیست [...]. ورودی‌ها و خروجی‌های [آن قانون] متفاوت هستند: قانون اسنل ورودی‌هایی متفاوت را نسبت به اصل فرما دریافت می‌کند و خروجی متفاوتی را نیز تولید می‌کند که پیشاپیش در کمینه‌سازی کنش مقید شده بود، یعنی موقعیت مکانی پرتوهای بازتاب (Wharton, 2015, p. 182).

در حالی که قانون اسنل زاویۀ تابش یا بازتاب را به ‌عنوان ورودی دریافت می‌کند، اصل فرما ورودی‌هایی را دریافت می‌کند که وضعیت‌های اولیه و نهایی سامانه را شامل می‌شوند و زاویه‌های تابش یا بازتاب ورودی‌های آن نیستند، بلکه خروجی اصل فرما هستند؛ بنابراین، اینکه معادلات دینامیکی صورت‌بندی‌های نیوتنی، لاگرانژی و هامیلتونی از یکدیگر قابل استخراج هستند، مستلزم این نیست که این صورت‌بندی‌ها روال محاسباتی یکسانی دارند. آیا این تفاوت می‌تواند نشانۀ تفاوتی عمیق‌تر در ساختار ریاضیاتی یا تصویر فیزیکی یا متافیزیکی زیربنایی این صورت‌بندی‌ها باشد؟ پاسخ مثبت است.

نورث به برخی از تفاوت‌های ریاضیاتی و متافیزیکی صورت‌بندی‌های مختلف مکانیک کلاسیک اشاره کرده است (نک. North, 2009; 2021a; 2021b)^[29]. او یادآور شده است اگرچه ظاهراً صورت‌بندی‌های نیوتنی، لاگرانژی و هامیلتونی همگی وجود داشتن اجرام نقطه‌ای را در سطح بنیادی فرض می‌کنند، بر سر اینکه در هر صورت‌بندی چه چیزی بنیادی است و چه چیزی غیربنیادی است، تفاوت‌هایی وجود دارد:

• در مکانیک نیوتنی، جهان در سطح بنیادی دربردارندۀ ذرات و نیروهای بین آن‌ها است که مفاهیم اولیه و تقلیل‌ناپذیر هستند.
• در مکانیک لاگرانژی، جهان در سطح بنیادی دربردارندۀ ذرات و انرژی‌ها است و تفاوت میان انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل مفهومی بنیادی است. ویژگی‌های دینامیکی حقیقی ذرات کمیت‌های پیکربندی‌گونه هستند که بسیار شبیه به مکان رفتار می‌کنند. کمیت‌های سرعت‌گونه به صورت مشتق اول کمیت‌های پیکربندی‌گونه برحسب زمان تعریف می‌شوند. نیرو مفهومی بنیادی نیست و از انرژی به ‌دست می‌آید.
• در مکانیک هامیلتونی، جهان در سطح بنیادی دربردارندۀ ذرات و انرژی‌ها است و انرژی کل مفهومی بنیادی است. ویژگی‌های دینامیکی حقیقی ذرات کمیت‌های پیکربندی‌گونه و تکانه‌گونه، هر دو، هستند که به صورت مستقل از یکدیگر تعیین می‌شوند. نیرو مفهومی بنیادی نیست و از انرژی به ‌دست می‌آید (نک. North 2021a; Baez & Wise, 2019 و Lanczos, 1952).

بنابراین، صورت‌بندی‌های مختلف مکانیک کلاسیک از نظر ساختار ریاضی و چارچوب متافیزیکی هم‌ارز نیستند. همین مطلب در رابطه با صورت‌بندی‌های لاگرانژی و هامیلتونی نسبیت عام نیز صحیح است (در بخش بعد این مطلب را بررسی خواهیم کرد).

آنچه مشخصۀ طرح‌وارۀ لاگرانژی است و سبب تمایز آن از طرح‌وارۀ نیوتنی می‌شود، چنانکه وارتون یادآور شده است، این است که در طرح‌وارۀ لاگرانژی رفتارهای سامانه‌ها توسط «زنجیره‌ای الگوریتم‌گونه از علت‌ها و معلول‌ها» (Wharton, 2015, p. 181) تبیین نمی‌شود، بلکه به ‌صورت سراسری تبیین می‌شود.

به ‌طور خلاصه، طرح‌وارۀ لاگرانژی نگاشتی دوسویه و قابل معکوس‌سازی میان رویدادهای فیزیکی و پارامترهای ریاضیاتی است که آن پارامترها را به ‌طور جزئی روی مرزی فضازمانی در ابتدا و انتها مقید می‌کند و سپس، قانونی سراسری را برای به‌ دست دادن پارامترهای نامقید به ‌کار می‌گیرد. پارامترهای محاسبه‌شدۀ حاصل را می‌توان [به کمک نگاشت دوسویۀ گفته‏شده] به هویات فیزیکی منتسب کرد (Wharton, 2015, p. 182).

در حقیقت، طرح‌وارۀ لاگرانژی، برخلاف طرح‌وارۀ نیوتنی، از نقطه‌نظری سراسری یا کل‌گرایانه بهره می‌برد. یوشیرو نامبو^[30]، برندۀ جایزۀ نوبل فیزیک، نیز نکته‏ای مشابه را یادآور شده است:

نظریۀ فاینمن [یعنی صورت‌بندی لاگرانژی مکانیک کوانتومی] اگرچه از جهات بسیار با مکانیک کوانتومی معمولی معادل است، در روش‌هایی که می‌توان مسئله‏ای معین را تحلیل کرد، آزادی و تنوعی بسیار بیشتر را آشکار می‌سازد. برای مثال، می‌توان برخی از متغیرهای دینامیکی، یعنی میدان‌ها، را حذف کرد و کنش از دور معادلی را جایگزین کرد. اگرچه اگر چنین کنیم، سامانۀ دینامیکی همتای حاصل در چارچوب صورت‌بندی هامیلتونی مرسوم جای نمی‌گیرد و باید سامانه‌ای «ناموضعی» در نظر گرفته شود، یعنی سامانه‌ای که [به‌جای معادلات دیفرانسیلی] از معادلات انتگرالی به ‌عنوان معادلات حرکت آن باید استفاده کرد. در پرتوی این دستاورد، وسوسه‌کننده است که پژوهش‏های خود را به ‌نحوی گسترش دهیم که سامانه‌های با مشتقات مرتبۀ بالاتر، از جمله سامانه‌های ناموضعی، را نیز شامل شوند (Nambu, 1952, p. 2).

وارتون مدعی است طرح‌وارۀ لاگرانژی، به ‌عنوان چارچوب متافیزیکی زیربنای نظریۀ کوانتومی، با مشکلاتی مواجه نیست که طرح‌وارۀ نیوتنی با آن‌ها روبه‌رو بود. او تصویری متافیزیکی‌ از جهان کوانتومی را که طرح‌وارۀ لاگرانژی مستلزم آن است تعمیم طبیعی تصویری می‌داند که طرح‌وارۀ نیوتنی ارائه می‌کرد. همچنین، او استدلال می‌کند گارچه بهترین دلیل ما برای برگزیدن طرح‌وارۀ لاگرانژی مبتنی بر حوزۀ کوانتومی است؛ در حوزۀ غیرکوانتومی نیز می‌توان شواهدی از برتری طرح‌وارۀ لاگرانژی نسبت به طرح‌وارۀ نیوتنی را یافت^[31].

3- تصویر نیوتنی از فضازمان در برابر تصویر لاگرانژی

صورت‌بندی‌هایی متعدد از نسبیت عام وجود دارند که از نظر مفهوم هندسی‌ که به کمک آن فضازمان خمیده را می‌توان توصیف کرد با یکدیگر تفاوت دارند (نک. Krasnov, 2020). از منظری دیگر، دو صورت‌بندی لاگرانژی یا استاندارد و هامیلتونی یا کانونیک از نسبیت عام وجود دارند که تفاوت آن‌ها در نحوه‌ای است که دینامیک را توصیف می‌کنند.

در صورت‌بندی لاگرانژی، معادلات میدان اینشتین از وَردشِ^[32] کنش هیلبرت برای گرانش محض، یعنی بدون ثابت کیهان‌شناختی،

نسبت به متریک قابل استخراج هستند که در آن g دترمینان متریک و R اسکالر ریچی است. متغیر دینامیکی در اینجا متریک است. کنش کامل شامل کنش هیلبرت به ‌علاوۀ کنش میدان مادی است. در کنش بالا، انتگرال‌گیری بر روی ناحیه‌ای چهاربُعدی از فضازمان یا کل آن انجام می‌شود (برای دیدن جزئیات بیشتر نک. Jha, 2022).

صورت‌بندی هامیلتونی مستلزم تجزیۀ خمینۀ چهاربُعدی فضازمان به زیرخمینه‌های فضاییِ سه‌بُعدی و زمانیِ یک‌بُعدی است. به بیان دقیق‌تر، صورت‌بندی هامیلتونی مستلزم غوطه‌ور کردن^[33] ابرسطحی^[34] سه‌بُعدی در خمینۀ چهاربُعدی اصلی فضازمان است. به کمک این تجزیه، می‌توان میدان‌هایی تحول‌یابنده‌ را در گذر زمان بررسی کرد که بر روی ابرسطح فضایی تعریف‌شده هستند. این بررسی به کمک معادلات حرکت هامیلتون انجام می‏شود. برای این منظور، لازم است فرض شود خمینۀ فضازمان M به ‌طور سراسری هذلولوی^[35] است؛ یعنی می‌توان ابرسطح فضاگونۀ  که زیرخمینۀ جهت‌پذیر و سه‌بُعدی M است را به‌نحوی در M تعریف کرد که هر خم زمان‌گونه یا نورگونه که فاقد نقطۀ انتها است، ابرسطح  را فقط یک ‌بار قطع کند. این به منزلۀ آن است که M دارای توپولوژی

باشد. اگر چنین باشد، می‌توان خمینۀ فضازمانی M را به ابرسطح‌های  برگ‌بندی کرد که آن‌ها را سطوح کوشی^[36] می‌نامند. ابرسطح‌های  را می‌توان با پارامتر t شاخص‌گذاری کرد که مختصۀ زمانی سراسری در نظر گرفته می‌شود و انتخاب آن کاملاً اختیاری است^[37]. شکل 1 را ببینید.

این حقیقت کاملاً شناخته ‌شده است که این دو صورت‌بندی از نظر کاربردی هم‌ارز تلقی نمی‌شوند. صورت‌بندی لاگرانژی به معادلات حرکت مرتبۀ دوم می‌انجامد؛ در حالی که صورت‌بندی هامیلتونی به معادلات حرکت مرتبۀ اول می‌انجامد^[38]. صورت‌بندی هامیلتونی برای شبیه‌سازی‌های عددی (نک. Cook, 2000)، کوانتومی ‌کردن گرانش (نک. Wallace, 2000) و بررسی مسائل مقدار اولیه یا کوشی (نک. Arnowitt et al., 2008) ترجیح دارد. صورت‌بندی لاگرانژی برای طرح نظریات میدان کوانتومی و مدل‌های فیزیک ذرات، از جمله مدل استاندارد ذرات بنیادی، ترجیح دارد و ارتباط میان نظریات میدان کوانتومی و نظریات گرانش را به‌خوبی برقرار می‌کند و این امکان را فراهم می‌آورد که گرانش را به‌ مثابۀ میدان بدون جرم اسپین-2 قلمداد کنیم. همچنین، صورت‌بندی لاگرانژی بستری مناسب‌تر برای بررسی تقارن‌های نظریه، کمیت‌های بقا و تعمیم‌های احتمالی آن‌ها است.

آنچه کم‌تر شناخته‌ شده است، این است که این دو صورت‌بندی به لحاظ تجربی نیز هم‌ارز نیستند. معادلۀ اویلر - لاگرانژ به نحو تقریبی از لاگرانژی به‌ دست می‌آید. در حقیقت، اثبات ادعاشده در کتب درسی از هم‌ارزی دو صورت‌بندی نیز که پیش‏تر از آن یاد کردیم (نک. پاورقی 26) فقط زمانی معتبر است که از جملات مرتبۀ بالاتر صرف‌نظر شود؛ بنابراین، زمانی که جملات مرتبۀ بالاتر به لحاظ تجربی اهمیت پیدا می‌کنند، این دو صورت‌بندی به نتایج تجربی متفاوتی می‌انجامند^[39].

چنانکه در بخش قبل گفته شد، صورت‌بندی‌های لاگرانژی و هامیلتونی ممکن است به لحاظ ساختار ریاضی یا تعبیر فیزیکی یا متافیزیکی متفاوت باشند. تفاوت‌های کاربردی و تجربی آن‌ها که پیش‌تر به آن‌ها اشاره شد، ممکن است نشانه‌ای از این تفاوت‌های عمیق‌تر باشد. تفاوت‌های این دو صورت‌بندی به لحاظ ساختار ریاضی به ‌طور مستقیم به بحث ما مربوط نیست^[40]؛ در عوض، توجه خود را به تفاوت فیزیکی و متافیزیکی این دو صورت‌بندی معطوف می‌کنیم.

صورت‌بندی هامیلتونی نسبیت عام از طرح‌وارۀ نیوتنی به ‌عنوان تصویر متافیزیکی زیربنایی بهره می‌برد. در مقابل، از آنجا که انتگرال در رابطۀ 1 بالا بر روی ناحیه‌ای چهاربُعدی از فضازمان یا کل آن گرفته می‌شود، صورت‌بندی لاگرانژی از طرح‌وارۀ لاگرانژی به‌ عنوان تصویر متافیزیکی زیربنایی بهره می‌برد و نگرشی کل‌گرایانه را در رابطه با فضازمان اتخاذ می‌کند. در حقیقت، در صورت‌بندی لاگرانژی از نسبیت عام، «می‌توان به [فضازمان] به چشم یک مسئلۀ مقدارمرزی چهاربُعدی و سراسری نگریست» (Wharton, 2015, p. 186). از آنجا که بحث ما به متافیزیک فضازمان محدود است، «تصویر لاگرانژی از فضازمان» و «تصویر نیوتنی از فضازمان» را به‌جای، به‏ترتیب، «طرح‌وارۀ لاگرانژی» و «طرح‌وارۀ نیوتنی» مدنظر قرار می‌دهیم؛ زیرا این دو عبارت برای توصیف نگرشی جامع‌تر به‌ کار می‌روند که به‌جز فضازمان، میدان‌ها، ذرات و هر هویت فیزیکی دیگری را نیز در بر می‌گیرد.

در انتهای این بخش، در دفاع از این این ادعا که تصویر لاگرانژی نسبت به تصویر نیوتنی تصویر متافیزیکی مناسب‌تری از فضازمان در سطح بنیادی است، دو دلیل ارائه می‌کنیم:

1. در تصویر لاگرانژی از فضازمان، هیچ تفاوتی میان فضا و زمان وجود ندارد؛ در حالی که در تصویر نیوتنی از فضازمان تفاوتی میان آن‌ها وجود دارد.
2. تصویر نیوتنی از فضازمان به اندازۀ تصویر لاگرانژی از فضازمان جهان‌شمول نیست.

مقصود از «تصویر متافیزیکی مناسب‌تر» در اینجا این است که زمانی که (1) «فضازمان» را به‌ طور عام مدنظر داریم و نه فضازمانی ویژه را، و زمانی که (2) فضازمان را در سطح بنیادی واقعیت در نظر می‌گیریم و نه آنچه را که از آن بر ما جلوه‌گر می‌شود، تصویر لاگرانژی نسبت به تصویر نیوتنی به حقیقت نزدیک‌تر است.

توضیح دلیل اول: حذف مفاهیم مکان و زمان به ‌عنوان مفاهیم مستقل و ارائۀ مفهوم فضازمان دستاورد فلسفی اصلی نظریۀ نسبیت است که مینکوفسکی آن را این‏‌طور بیان کرده است:

از اکنون به بعد، فضا به‌خودی‏خود و زمان به‌خودی‏خود به ‌طور کامل کنار می‌روند و به سایه‌هایی بدل می‌شوند و فقط اتحادی از آن دو است که موجودیتی مستقل می‌یابد (Minkowski, 2012, p. 39).

تصویر لاگرانژی بر خلاف تصویر نیوتنی به‌خوبی این آموزۀ اساسی نظریۀ نسبیت را به تصویر می‌کشد. در تصویر نیوتنی از فضازمان تفاوتی میان فضا و زمان به چشم می‌خورد: این تصویر مستلزم وجود متغیر زمانی مرجّحی است که تحول ابرسطوح فضاگونه بر حسب آن توصیف می‌شود. در برخی موقعیت‌ها، همچون تک ذره در حال حرکت، ویژه‌زمان انتخابی طبیعی برای آن متغیر زمانی مرجّح است، زیرا انتخابی است که فوراً صورت‌بندی نظریه را هم‌وردای عام می‌کند. اما در حالت کلی صورت‌بندی هامیلتونی مستلزم وجود متغیر زمانی‌ای است که همه جا به‌طور همواری تعریف‌شده باشد. با وجود این مطلب، نه نسبیت خاص و نه نسبیت عام، هیچ‌ کدام انتخابی طبیعی از متغیر زمانی مرجّح یا برگ‌بندی ویژه‏ای از فضازمان را به صورت کلی و عام پیشنهاد نمی‌کنند. در نسبیت خاص، به دلیل قراردادی بودن هم‌زمانی^[41]، فضازمان‌های نسبیت ویژه‏، همچون مینکوفسکی و ریندلر^[42]، هیچ برگ‌بندی مرجّح عینی‌ای را نمی‌پذیرند و هر نوع ترجیحی از نوع ترجیح عملی و به منظور راحتی محاسبه است. همین مطلب در نسبیت عام نیز برقرار است؛ در صورت‌بندی هامیلتونی، هر انتخاب متغیر زمانی مرجّح فقط به منظور راحتی و برای مقاصد عملی است و بیانگر هیچ حقیقت عینی‌ در جهان نیست.

از همین رو، تصویر نیوتنی در بدو امر تصویر متافیزیکی مناسبی از فضازمان نیست و تصویری نیست که به ‌طور طبیعی انتخاب شود، بلکه ما آن را برای منظوری ویژه برمی‌گزینیم: «ما فضازمان را برش می‌زنیم تا آن را محاسبه کنیم» (Misner et al., 1973, p. 506). تصویر نیوتنی تصویری مناسب از فضازمان است؛ زمانی که می‌خواهیم فضازمان را به ‌مثابۀ رایانه در نظر بگیریم و به همین دلیل است که این تصویر بخشی از طرح‌وارۀ نیوتنی است. چنانکه اشاره شد، نسبیت عام هیچ برگ‌بندی مرجّحی را پیشنهاد نمی‌کند. این مطلب به رویکردی در رابطه با زمان می‌انجامد موسوم به چندشاخه‌گی^[43]  که بر مبنای آن متغیرهای زمانی مختلفی به نقاط مختلف فضازمان نسبت داده می‌شوند. در کتاب شناخته‌شدۀ گرانش که کتاب مرجع فیزیک‏دانان محسوب می‌شود، می‌خوانیم:

راه‌هایی متعدد برای تسهیل کردن [دشواری‌های کار کردن با] زمان چندشاخه و کاوش کردن در فضازمانی وجود دارد که در هر نقطه از آن زمان با آهنگی متفاوت می‌گذرد؛ اما رایانه زمانی به کارآمدترین نحو ممکن برنامه‌ریزی شده است که فقط از یک دستورالعمل واحد پیروی کند. آسان‌ترین شیوه برای توصیف کردن ابرسطوحی پی‌درپی‌ که هندسه بر روی آن‌ها تعریف ‌شده باشد، استفاده از مقادیر متوالی یک متغیر  زمانی t است. (Misner et al., 1973, pp. 505-506).

برای اینکه بتوان فضازمان را محاسبه کرد باید آن را به صورت «فضا به‌ علاوۀ زمان» در نظر گرفت که البته با فلسفۀ اتحاد فضا و زمان کاملاً هم‌سو نیست. تصویر نیوتنی از جهتی دیگر، اما نزدیک به آنچه گفته شد، نیز توصیف حقیقی فضازمان در سطح بنیادی نیست: تصویر هامیلتونی تحول را به خوبی به تصویر می‌کشد؛ اما نسبیت عام در اساس نظریه‌ای در رابطه با تحول سامانه در زمان نیست، بلکه نظریه‌ای دربارۀ خود فضازمان، هندسه و توپولوژی آن است^[44].

توضیح دلیل دوم: فقط در مواردی ویژه، همچون فضازمان‌های به‌ طور سراسری هذلولوی، می‌توان فضازمان را به عنوان تحول ابرسطحی فضاگونه در زمان در نظر گرفت و نه همواره و در حالت کلی. دلیل این مطلب آن است که مسائل مقدار مرزی (یا مسائل کوشی) در نسبیت عام، به خاطر وجود انحنا، بسیار دشوارتر از سایر حوزه‌ها هستند. در نسبیت عام، ارائۀ هندسۀ (موضعی) فضازمان به‌ مثابۀ مسئلۀ مقدار مرزی است که باید حل شود. راه‌حل متداول این است که فضازمان را به صورت مجموعه‌ای از برش‌های فضاگونه در نظر بگیریم که در آن می‌توان شرایط مرزی را بر برشی معین اعمال کرد و تحول آن شرایط را در طول زمان و بر برش‌های بعدی به وسیلۀ معادلات حرکت بررسی کرد؛ اما در حالت کلی، نمی‌توان این روش را برای هر فضازمانی به کار بست. فقط فضازمان‌هایی را که به‌ طور سراسری هذلولوی باشند، ضرورتاً می‌توان به وسیلۀ تحول شرایط اولیه در زمان به ‌نحوی درست توصیف کرد. البته صورت‌بندی هامیلتونی در برخی از مواردی که فضازمان به‌ طور سراسری هذلولوی نیست نیز قابل به‌کارگیری است (نک. Friedman, 2004)؛ اما این مطلب هنوز قاعده‌ای کلی نیست و بنابراین، این ادعا همچنان صادق است که فقط در مواردی ویژه می‌توان فضازمان را به صورت تحول زمانی ابرسطحی فضاگونه در نظر گرفت.

شکل 1. برگ‌بندی فضازمان به‌ طور سراسری هذلولوی (برگرفته از Jha, 2022, p. 13 با تغییرات).

۴- نتیجه‌گیری

• «طرح‌واره»های گوناگون ممکن است از نظر ساختارهای ریاضی‌ که استخدام می‌کنند، پیش‌بینی‌های تجربی‌شان و تصاویر متافیزیکی که متضمن آن هستند، با یکدیگر متفاوت باشند. دو طرح‌وارۀ رقیب، یعنی طرح‌وارۀ نیوتنی و طرح‌وارۀ لاگرانژی، زمانی که در رابطه با فضازمان به کار گرفته شوند، به دو تصویر رقیب از فضازمان خواهند انجامید: تصویر نیوتنی در برابر تصویر لاگرانژی. تصویر لاگرانژی بیش از تصویر نیوتنی با روح و فلسفۀ کلی نظریۀ نسبیت سازگار است. همچنین، تصویر لاگرانژی جهان‏شمول است و در رابطه با هر فضازمانی کاربرد دارد، در حالی که تصویر نیوتنی فقط در رابطه با فضازمان‌هایی ویژه به کار می‏‏رود؛ بنابراین، می‌توان نتیجه گرفت تصویر لاگرانژی نسبت به تصویر نیوتنی تصویر متافیزیکی پذیرفتنی‌تری از فضازمان است زمانی که (1) «فضازمان» را به‌ طور عام مد نظر داریم، نه فضازمانی ویژه را و نیز زمانی که (2) فضازمان را در سطح بنیادی واقعیت در نظر می‌گیریم و نه آنچه را که از آن بر ما جلوه‌گر می‌شود. در مقابل، تصویر نیوتنی فقط برای مقاصد عملی و محاسباتی قابل قبول است. تصویر نیوتنی به صورت موضعی، یعنی به‌ نحوی که ما به جهان دسترسی تجربی داریم، پذیرفتنی است. به یاد آورید که همۀ اندازه‌گیری‌های فضایی‌زمانیِ ما موضعی یا شبه‌موضعی هستند. زمانی که هدف ما بررسی عددی و محاسباتی است، تصویر نیوتنی به ‌عنوان تصویری از ناحیه‌ای از فضازمان ممکن است پذیرفتنی باشد.
• چنانکه اسمولین و وارتون یادآور شده‏اند، این اشتباه است که جهان یا فضازمان را نوعی رایانه در نظر بگیریم. تصویر نیوتنی از فضازمان نوعی از رایانه‌انگاری جهان و فضازمان است. این باور اگرچه برای مقاصد عملی و محاسباتی کارآمد و مفید است، تبیینی قابل قبول را از جهان و فضازمان ارائه نمی‏دهد. در مقابل، طرح‌وارۀ لاگرانژی، با کنار گذاشتن این وجه از فلسفۀ مکانیکی و فلسفۀ محاسباتی و با استخدام نوعی از کل‌گرایی، تصویر متافیزیکی بهتری را از فضازمان در اختیار ما قرار می‌دهد.

[1] داوری محترم یادآور شده‏اند که بحث میان نیوتن و لایب‌نیتز، به ‌لحاظ تاریخی، در واقع ناظر به فضا (و زمان) بوده است، نه فضازمان. فقط در صورت‌بندی‌های امروزین است که مناقشۀ میان آن‌ها ناظر به «فضازمان»، به ‌عنوان یک هویت واحد، تقریر می‌شود. در اینجا، ما به‌ منظور هم‌خوانی بیشتر با بحث خودمان که ناظر به فضازمان است، به صورت‌بندی‌های متأخر آن مناقشه اشاره کرده‏ایم. برای آشنایی بیشتر، نگاه کنید به (Earman 1989).

[2] به ‌لحاظ تاریخی، این مناقشه در مکاتبات لایب‌نیتز و کلارک ریشه دارد. برای مطالعۀ بیشتر، نگاه کنید به (Brown 2023). برای آشنایی به‌روزتر با این مناقشه نگاه کنید به (Earman, 1989).

[3] به ‌عنوان نسخه‌ای جدید نگاه کنید به (North, 2018).

[4] در بخش 3، به این مطلب بازمی‌گردیم. در اینجا، لازم است توجه شود که منظور از «تصویر نیوتنی» همان است که تعریف آن آمد و در بخش 3 نیز به تفصیل ارائه خواهد شد. این تصویر با رویکرد مطلق‌انگارانۀ نیوتنی در رابطه با فضا ارتباطی ندارد؛ زیرا در رویکرد نسبت‌گرایانۀ لایب‌نیتزی نیز کاربرد دارد. اینکه چرا اسمولین این تصویر را نیز «نیوتنی» نامیده است، دلیلی دیگر دارد که در بخش 3 روشن خواهد شد.

[5] local

[6] Lee Smolin

[7] schema

[8] Ken Wharton

[9] همچنین (نک. Burton, 2021) که مصاحبه‌ای است با اسمولین.

[10] state space

[11] به ‌نظر می‌رسد منظور اسمولین از «پیشینی» همان معنای معمول آن است؛ زیرا او این فضا را شیءای ریاضی می‌داند که قبل از بررسی تجربی قوانین حرکت ساخته می‌شود (نک.Smolin, 2015, pp. 91-92 ).

[12] collapse

[13] configuration

[14] phase

[15] foliation

[16] این حقیقتی نیست که از چشم فیزیک‏دانان پنهان مانده باشد و چنانکه اسمولین یادآور شده است، فیزیک‏دان‌ها بهترین نظریه‌ها و مدل‌های علمی، همچون کرومودینامیک کوانتومی، نسبیت عام و مدل استاندارد ذرات بنیادی را نظریات میدان مؤثر (effective field theories) یا مدل‌های منتج از آن‌ها قلمداد می‌کنند (نک. Unger & Smolin 2015, p. 375) و Smolin, 2015).

[17] ما مطلع نیستیم که آیا اشاره‌ای صریح یا ضمنی در آثار نیوتن به این دستورالعمل انجام شده است یا خیر. این پرسش می‌تواند موضوع پژوهشی تاریخی باشد.

[18] اسمولین یادآور می‌شود طرح‌وارۀ نیوتنی چارچوب اصلی علوم کامپیوتر و بررسی‌های مدل‌های ریاضی مرسوم در علوم زیستی و اجتماعی را نیز فراهم می‌آورد (نک. Unger & Smolin 2015, p. 373).

[19] وارتون مشکلات آن در تبیین پدیده‌های کوانتومی را بررسی است (نک. Wharton, 2015). همچنین، طرح‌وارۀ نیوتنی قرابتی زیاد با رویکردی در رابطه با قوانین طبیعت، موسوم به «تولید پویا» (dynamic production) دارد. بر مبنای تولید پویا، قوانین حاکم بر طبیعت معادلات دیفرانسیلی برحسب زمان هستند که با گرفتن وضعیت سامانه در لحظه‌ای معین، وضعیت بعدی آن را تولید می‌کنند (برای مثال، نک.Maudlin 2007, chap. 4 ). تولید پویا با مشکلاتی روبه‌رو است. برخی از مهم‌ترین آن‌ها عبارت‏اند از: 1. مفاهیم موجبیت‌گرایی و پیش‌بینی‌پذیری را به‏خوبی از هم متمایز نمی‌کند، 2. تصویر متافیزیکی مطلوبی را از فیزیک کوانتومی در اختیار نمی‌گذارد و 3. مشخص نیست چطور می‌توان آن را به ‌نحوی مناسب در رابطه با فضازمان‌هایی به‌ کار گرفت که دربردارندۀ «اولین» لحظۀ زمان نیستند؛ همچون فضازمان‌هایی که دربردارندۀ تکینگی اولیه هستند یا فضازمان‌هایی که دربردارندۀ خم‌های بستۀ زمان‌گونه هستند (نک. Adlam, 2022 و Chen & Goldstein, 2022).

[20] داوری محترم به‏درستی یادآور شده‏اند که روشن نیست که چنین پرسش‌هایی اساساً به ‌لحاظ فلسفی معنا‌دار یا در چارچوب متافیزیکی دیگری، غیر از طرح‌وارۀ نیوتنی، قابل پاسخ‌گویی باشند، یا دست‌کم این مطلب در بدو امر روشن نیست و باید برای آن استدلالی مجزا ارائه شود. این ممکن است نقدی مهم به اسمولین باشد؛ اما ما در اینجا قصد بررسی آرای او را نداریم و این مهم را به پژوهشی دیگر موکول می‌کنیم.

[21] اسمولین دو پرسش نخست را در کنار هم «معضل چشم‌انداز» (the landscape problem) نامیده است (نک. Smolin, 1997).

[22] اسمولین یادآور می‌شود بخش‌هایی از جهان، همچون تابش زمینۀ کیهانی، در تعادل ترمودینامیکی هستند؛ اما بخش بزرگ‌تر آن از تعادل ترمودینامیکی بسیار فاصله دارد (نک. Burton, 2021).

[23] computational

[24] isomorphic

[25] او در Unger & Smolin, 2015 و در جایی دیگر (Smolin, 2012) یادآور شده است این بحران به بحران سومی انجامیده است که برنامۀ هوش مصنوعی قوی و نظریات این‌همانی در فلسفۀ ذهن را به چالش می‌کشند.

[26] anthropocentric

[27] اگرچه این مطلب ممکن است مخالفانی داشته باشد، دست‌کم فضای حاکم بر فیزیک و فلسفۀ فیزیک سالیان گذشته، بلکه قرن گذشته، چنین بوده است. ما نیز در اینجا چنین فرض می‌کنیم.

[28] برای مثال (نک. Goldstein et. al. 2001, p. 334 و Thornton & Marion 2004, pp. 257-258).

[29] نورث استدلال کرده است فضای حالت‌ها در صورت‌بندی لاگرانژی ساختاری ریمانی دارد؛ در حالی که این فضا در صورت‌بندی هامیلتونی ساختاری سیمپلکتیک دارد. او نتیجه می‌گیرد از آنجا که ساختار سیمپلکتیک ساده‌تر است، مکانیک کلاسیک در اساس هامیلتونی است. کوریل با نورث مخالف است. او معتقد است مکانیک کلاسیک در اساس لاگرانژی است. (نک. Curiel, 2014).

[30] Yoichiro Nambu

[31] همچنین (نک. Lanczos, 1952, xxiv-xxv). او دلایلی را ارائه می‌کند مبنی بر اینکه چرا صورت‌بندی لاگرانژی بستری مناسب‌تر برای طرح نسبیت عام است. دلایل او را می‌توان دلایلی به نفع طرح‌وارۀ لاگرانژی قلمداد کرد.

[32] variation

[33] embedding

[34] hypersurface

[35] globally hyperbolic

[36] Cauchy

[37] برای جزئیات بیشتر (نک. Jha, 2022 و Kroon, 2022).

[38] البته هر معادلۀ دیفرانسیل معمولی مرتبۀ دوم را می‌توان به صورت دو معادلۀ دیفرانسیل جفت‌شدۀ مرتبۀ اول نوشت؛ اما این مطلب به منزلۀ عدم‌تفاوت و هم‌‌ارزی این دو صورت‌بندی از نظر سهولت در مدل کردن مسئله یا نوع و آسانی یا دشواری محاسباتی که با آن‏ها سروکار داریم نیست.

[39] برای دیدن نمونه‌ای از این مورد (نک. Chen & Wu, 2016 و Wu et al., 2015).

[40] برای آشنایی (نک. Krasnov, 2020).

[41] برای دیدن جزئیات بیشتر (نک. Janis, 1983).

[42] Rindler

[43] many-fingered

[44] جارامیلو و لَم نیز به این نکته اشاره کرده‏اند (نک. Jaramillo & Lam, 2021).